Бесплатный фрагмент - Теория понятий

0. Аннотация

Уважаемый читатель или даже читательница, если у Вас нет проблем с мышлением, то читать этот текст дальше не рекомендуется, ибо по прочтении они могут появиться.

Для теории понятий интерес представляет технология мышления, поскольку, как представляется, вся математика и многие другие (если не все) дисциплины и науки основаны на мышлении. Все проблемы естественного интеллекта от возникновения и до разрешения включительно определяются мышлением. Мышление необходимо даже и в быту, буквально на каждом шагу. Теория понятий исходит из концепции, что мышление и все науки нужны для понимания и совершенствования реального мира. Теория понятий занимается технологией мышления. Для использования теории понятий никакие дополнительные знания не требуются, достаточно мышления. Теория семантических понятий рассматривает мышление в качестве предмета исследования, изучения и применения. Проблематика технологии мышления стала особенно актуальной в самое последнее время в связи с работами по искусственному интеллекту. Если ещё недавно естественный интеллект интересовался, могут ли машины мыслить, то теперь на повестку дня у симбиоза естественного и искусственного интеллекта выходит вопрос — а достаточно ли адекватно мыслит естественный интеллект.

Всякие действия (не только обычные бытовые, но и такие математические, как умножение, интегрирование и т.д.) имеют смысл. Это аксиома (одна из аксиом) теории понятий. Задача мышления — её определение. Это очень трудная задача, особенно для дисциплин, которые от семантики абстрагируются. Мышление как процесс также имеет семантику. Этот процесс, по Кантору, имеет предел. Работу, которая не имеет смысла, нет смысла и выполнять!!!

---

GOOGLE (Теория понятий)

Теория понятий занимается проблемами мышления. Она представляет технологию развития, совершенствования всего, не исключая и мышления. Теория понятий представляет диалектическую технологию диалектического мышления.

Предлагаемая теория понятий определяет и представляет, в частности, прикладную конструктивную математику, основанную на использовании определения понятия множества Г. Кантора [1]. Современная аксиоматическая абстрактная математика не учитывает естественные изменения реального мира. Абстрактная, аксиоматическая математика слишком примитивна для практического использования.

Современная аксиоматика — кладезь семантических некорректностей и ошибок. Многие аксиоматические несуразности при использовании теории понятий не проявляются.

Теория понятий основана на использовании наивной теории множеств Георга Кантора для формализации применения мышления в теоретических науках. Теория понятий считает, что теория множеств Г. Кантора представляет технологию диалектического мышления, теорию понятий, теорию типов данных и вообще все диалектически мыслимые теории от теории чисел и до теории понятий включительно. Мышление не алгоритмично, но диалектично [7]. Теория понятий считает, что теория множеств представляет технологию развития, совершенствования всего, не исключая и себя.

Предложив определение понятия множества, Кантор заложил фундамент конструктивной математики. И даже заложил фундамент конструктивного логичного мышления. Теория понятий — это теория, в которой используется, применяется логика, в которой вместо неопределяемых аксиом используются, применяются определения. Точнее, определения считаются аксиомаитическими, аксиомами на том основании, что определение не может быть ни доказано, ни опровергнуто. Определение определения в теории понятий предлагается. Правильность определений не обсуждается. Определение определяет то, что оно определяет. Вся внеаксиоматическая математика в ее современном состоянии зиждется на определении понятия множества. Конструктивная математика отличается от традиционной, интуитивно-аксиоматической математики не только основополагающими понятиями. Безаксиоматическая математика, основанная на использовании семантических определений, называется в теории понятий метаматематикой. Теория понятий — это надстройка над математикой, обеспечивающая, в частности, формализацию постановки математических задач.

В конструктивной математике могут быть определены и представлены не только операции, функции и отношения. Определение Кантором понятия множества может быть использовано для определения, создания, построения неких новых сущностей, являющихся обобщением используемых понятий, в частности понятия отношения семантических понятий.

В теории понятий понятия алгоритма и функции не тождественны. Они находятся в некотором семантическом отношении: алгоритм представляет функцию. Понятие алгоритма является обобщением понятия функции.

Понятия и теории в теории понятий представляют формализацию постановки математических, осмысленных задач.

Теория понятий — это множество (!) семантических определений.

Для теории понятий наибольший интерес в определении понятия множества представляют не количественные характеристики совокупностей или даже множеств элементов, сколько отношения элементов и алгоритмы построения элементов, представляющих эти множества элементов. К слову, поскольку определение множества предполагает нахождение некой сущности, представляющей совокупность, или даже множество элементов в полном смысле, то совершенно неважно, какие именно элементы образуют определяющую совокупность. Ибо определяемая сущность должна и будет представлять совокупность в полной мере.

Классическая математика предполагает единую, неизменную аксиоматику. Прикладная математика, представленная Кантором [3], допускает использование каждым математиком собственной, диалектически совершенствующейся аксиоматики. Система ALEPH, представляющая теорию понятий (и/или) прикладную математику, использует термины естественного языка для представления семантики объектов созерцания и объектов мышления.

Классическая математика занимается решением произвольно поставленных задач. Прикладная математика занимается и формализованной постановкой математических задач. В теории понятий обсуждается проблематика постановки осмысленных математических задач. Теория понятий занимается и постановкой, и решением задач. В теории понятий имеются теории, представляющие как постановку, так и решение задач.

В практическом прикладном аспекте с помощью определения понятий могут быть определены новые прикладные понятия, определены новые типы данных (включая и семантические рекурсивные типы) как в алгоритмических, так и в информационных языках, что особенно актуально для новых областей информатики; примерами таких областей информатики являются: математическая экономика (именно как математическая экономика, а не применение математики в экономике), аналогично матфизика (а не применение математики в физике), технологии использования блокчейнов и криптовалют в финансовой сфере, BIG DATA в базах данных и многие другие области мышления. Так, к примеру, теория понятий предлагает формальное определение понятия отношения транзакции для матэкономики.

Семантические понятия могут представлять решения различных семантических проблем. Определениями могут определяться и представляться не только различные предметы, но и даже новые действия. И вообще определениями в теории понятий определяются любые сущности, имеющие определения. Неопределённые сущности в предлагаемой теории понятий не рассматриваются и не используются. Множество понятий бесконечно. Работать с бесконечными понятиями можно по технологии сходящихся последовательностей Коши. Сходящийся рекурсивный тип данных решает многие математические проблемы. Сходящаяся последовательность имеет, определяет определённый предел (по определению сходящейся последовательности). Теория понятий пользуется сходящимися рекурсивными определениями.

Существенным элементом теории понятий является алгебра понятий. Ибо даже в матлогике преобразование понятий иногда подменяется подменой понятий. Так, к примеру, некоторые учёные математики на том основании, что зависимости сущностей представимы формулами, считают, что формулы определяют зависимости реальных предметов созерцания. (В математической логике формальных определений новых понятий не имеется.) В отличие от математики, неизменная аксиоматика которой создаётся единожды и на вечные времена, в теории понятий теории могут развиваться. К сожалению, в классической математике не имеется реального времени. Поэтому, в частности, в этой математике не допустимы сходящиеся во времени рекурсивные определения. Использование не сходящихся диалектических, рекурсивных определений исключено (поскольку они циклят). Теория понятий работает в реальном времени. Утверждение «сегодня 13 января 2020 года» будет в предлагаемой теории понятий истинным, когда это 13 января наступит. Истинность утверждения «сегодня пятница» в теории понятий увеличивается по мере её приближения. Аристотель отдыхает.

Для традиционной математики теория понятий может представлять интерес в такой нетрадиционной и совершенно неразработанной в ней области, как формализация постановки семантических (осмысленных) математических задач. Определение множества — это постановка задачи мышлению. В теории понятий одно и то же семантическое понятие может представлять как постановку задачи, так и её решение.

В теории понятий множество (принципиально, что именно множество, а не совокупность) семантических определений образует и представляет семантическую метаматематическую теорию. Теория понятий является (не называется, а именно является) теорией по определению, по собственному определению понятия теории. Семантическая теория может быть исполнена.

А вообще-то предлагаемая теория понятий, в отличие от математики, царицы всех наук, очень ограниченная, (но) органичная, прикладная дисциплина, (Теория понятий очень, весьма прагматичная дисциплина. Устаревшие аксиоматические игры не для неё.) Теория понятий безамбициозная дисциплина в том смысле, что она ограничивает себя рассмотрением и использованием наивной теории множеств Георга Кантора (что означает, что не всякая совокупность сущностей образует, является множеством), арифметики в представлении Эйлера, функциями Лейбница, рассмотрением реального физического пространства в виде трёхмерного метрического пространства (правда, с той поправкой, что так называемая «метрика» представляется не функцией) и вообще использованием только явно определённых сущностей. Если при использовании теории понятий возникают некие проблемы, то можно обращаться к вышеозначенной царице.

Теория понятий определяет и представляет некий виртуальный мир, надстроенный над реальным миром.

Замечательным свойством теории понятий является то, что любая теория теории понятий всегда представляет собой законченный продукт, готовый к применению и к исполнению.

Теория понятий не замена математики, а её доопределение. Математика и теория понятий друг друга дополняют и конкурируют.

Если «МЫСЛИТЕЛЬ» хочет предложить некое новое семантическое понятие, то он имеет возможность воспользоваться предлагаемой теорией понятий схемой мышления Кантора. Теория понятий считает мышление «МЫСЛИТЕЛЯ» удовлетворительным, если он хотя бы сам пользуется своими мыслями (понятиями). В целом теория понятий представляет технологию самосовершенствования всего, не исключая и себя.

Теория понятий считает, что реальный мир определяет математику, которая его представляет.

Вступление, предисловие

Понятие есть «…высший продукт мозга,

высшего продукта материи».

Ленин В. И., ПСС, т. 29, с. 149

Основоположником проблематики современного мышления можно считать Иммануила Канта. В работе «Критика чистого разума» он сформулировал основные концепции мышления. В качестве основной концепции он провозгласил: «Sapere aude! — имей мужество пользоваться собственным умом! — таков девиз Просвещения». Кантор предложил формализацию рассматриваемых в научных теориях понятий. Теория семантических понятий использует мышление для единения элементов совокупностей элементов в формальных определениях Кантора и разрабатывает алгоритмический метаязык ALEPH, представляющий теорию семантических понятий. Формы системы GOOGLE CHROME почти идеально подходят для представления семантических понятий метаязыка ALEPH. GOOGLE («Семантические понятия, теории и алгоритмы»).

1. Введение

Уважаемый читатель, если Вы по роду своей деятельности используете некую систему понятий, или, быть может, даже аксиоматическую математику Рассела — Цермело — Френкеля, или нормальные алгоритмы Маркова и они Вас вполне устраивают, то читать далее предлагаемую работу нет никакого смысла. Но если Вам требуется рассматривать различные предметы созерцания и предметы мышления, не исключая и свои собственные, и если Вам желательно понимать и использовать хотя бы свои собственные понятия и утверждения или Вы хотите усовершенствовать своё мышление, то использование наивной теории множеств Георга Кантора и её семантического варианта, представляемого предлагаемой работой, может оказаться небесполезным.

2. Философия мышления

Основоположником современной немецкой классической философии считается Иммануил Кант. В работе «Критика чистого разума» он сформулировал основные концепции философии. В качестве одной из них он провозгласил: «Sapere aude! — имей мужество пользоваться собственным умом! — таков девиз Просвещения».

Старая докантовская философия вообще оказалась не способной заглянуть в те бездны, которые открылись кенигсбергскому философу:

«Я не уклонился от поставленных человеческим разумом вопросов, оправдываясь его неспособностью [решить их]; я определил специфику этих вопросов сообразно принципам и, обнаружив пункт разногласия разума с самим собой, дал вполне удовлетворительное решение их. Правда, ответ на эти вопросы получился не такой, какого ожидала, быть может, догматически-мечтательная любознательность; ее могло бы удовлетворить только волшебство, в котором я не сведущ. К тому же и естественное назначение нашего разума исключает такую цель, и долг философии состоял в том, чтобы уничтожить иллюзии, возникшие из-за ложных толкований, хотя бы ценой утраты многих — признанных и излюбленных фикций. В этом исследовании я особенно постарался быть обстоятельным и смею утверждать, что нет ни одной метафизической задачи, которая бы не была здесь разрешена или для решения которой не был бы здесь дан, по крайней мере, ключ».

Предметом философии отныне, согласно Канту, становится область чистого (то есть независимого от опыта) разума. И далее начинается пиршество мысли. Как ученого, сделавшего, кстати, немало в области конкретных наук (достаточно вспомнить, что он одним из первых дал правильное объяснение морских приливов и отливов под воздействием притяжения Луны, разработал оригинальную гипотезу происхождения Солнечной системы и т.д.), Канта интересует прежде всего вопрос: как возможны в принципе такие науки, как математика, естествознание и философия. Но как философ он ставит вопрос еще шире: откуда вообще берется всякое знание, содержащее истины, и как оно формируется на основе первичных и ненадежных чувственных данных.

Скрупулезному обоснованию видения данной проблемы и посвящены почти 700 страниц текста «Критики чистого разума». Кант шаг за шагом проводит изумленного читателя над бездной неизведанного. Показывает, как на фундаменте чувственных первоощущений пространства и времени возникают простые и сложные понятия, которыми оперирует человек в своей повседневной жизни. Среди них научные идеи и категории, находящиеся в диалектической субординации. Понятийный синтез, точно в химической реторте, целиком и полностью свершается в нашем сознании. Кант поименовал этот жизненно важный и таинственный даже для него самого акт превращения простого в сложное — трансцендентальной апперцепцией, положив тем самым начало не слишком отрадной традиции — облекать свои мысли и выводы в трудно постижимые и неудобоваримые категории, чем так прославилась классическая немецкая философия. Логически безупречно Кант подводит читателя и к парадоксальному выводу: любые законы — природы в том числе — находятся в нас самих: «…Рассудок не черпает свои законы (a priori) из природы, а предписывает их ей».

Этот парадоксальный вывод представляет собой философское определение понятия смысла, определение семантики в теории понятий. Хотя, конечно, естественный интеллект способен обходиться и собственным определением семантики.

Кант придумал формализацию. Процедура формализации: любая формализация по определению игнорирует некоторую часть доступной информации и, следовательно, обедняет содержательное представление об исследуемом объекте. Формализация неоднозначна по её же определению. Проблема в том, какую часть информации игнорировать. К сожалению, формализация ослабляет конкуренцию понятий. Теория понятий предлагает применять разумную формализацию и игнорировать (назначать низкие веса) несущественным (малосущественным) для практического использования характеристикам, свойствам объекта. Теория понятий считает, что остающиеся после формализации свойства, характеристики объекта определяют и представляют его семантику. Кантор в своих работах использовал различные упорядочивания характеристик. Теория понятий использует упорядочение по значимости. Семантика существенна. Семантика — это сущность, представляющая другие существующие сущности.

Вопросами формализации естественного языка занимался Хомский. Он предложил к использованию грамматики, свободные от контекста, контекстно свободные формальные грамматики (КС-грамматики), что не исключает возможность использования самого формализуемого языка.

И вообще теория понятий очень (но не чрезмерно) парадоксальная дисциплина.

Понимание утверждений в теории понятий не тривиально (но возможно). Понимать семантическую теорию понятий способен только естественный интеллект, правда не всякий. Некоторые семантические утверждения понимать нет смысла. А некоторые весьма парадоксальные утверждения могут иметь смысл. В теории понятий не исключено даже, что, например, отношение (13 ≠ 13) является вполне осмысленным если, например, одно число 13 является числом в десятичной системе счисления, а другое число 13 является числом в некоторой другой (например, восьмеричной) и тогда действительно имеет место отношение (13 ≠ 13). Не исключены ситуации, когда это отношение имеет большой «семантический смысл».

В теории понятий наряду с «законом» исключённого третьего применяются семантические определения. А закон исключённого третьего считается постулатом. Кантор усовершенствовал традиционную логику, пополнив ее определениями. Так, если в классической логике утверждения могут быть либо истинными, либо ложными, то определения не могут быть ложными. Если определение нечто определяет, то оно это определяет при любой погоде. И никакая логика не требуется. Диалектика заменяет логику. Для развития наук никакая логика не требуется, достаточно диалектических определений.

Кант в работе «Критика чистого разума» обосновывает безаксиоматичность мышления. Кантор, являясь последователем Канта, несколько усовершенствовал логику, формализованную Кантом, и предложил мыслить определениями.

В конце прошлого — начале нынешнего веков, когда философия и наука стали с беспокойством осознавать пагубность традиционной методологии и неизбежность замаячивших впереди тупиков, раздался спасительный лозунг: «Назад к Канту!» Может, и был он чересчур паническим, но рациональное зерно здесь налицо: ни наука, ни философия не могут сделать ни одного шага вперед без тех открытий, которые были совершены в тиши кенигсбергского кабинета и получили свое воплощение в великой книге «Критика чистого разума». «Sapere aude! — имей мужество пользоваться собственным умом! — таков девиз Просвещения».

3. Познание природы и логика

В работе «Познание природы и логика», которую Давид Гильберт представил коллегам-математикам в 1930 году, он пытается выяснить взаимосвязь практики и мышления. Он во многом вынужден согласится с Иммануилом Кантом, признанным авторитетом в области мышления.

Приведём несколько наиболее содержательных цитат из этой работы с некоторыми комментариями:

«Познание природы и жизни — наша первейшая задача. На ее решение направлены все усилия и вся воля человечества, и чем дальше, тем плодотворнее становятся эти усилия. За последние десятилетия нам удалось расширить и углубить наши знания о природе больше, чем за столько же столетий в прошлом. Сегодня мы хотим воспользоваться столь благоприятным положением, чтобы рассмотреть старую философскую проблему, а именно — многократно обсуждавшийся вопрос о том, какая доля нашего знания приходится, с одной стороны, на мышление, а с другой — на опыт. Этот старый вопрос вполне обоснован потому, что ответить на него по существу — означает установить, какова вообще природа нашего естественнонаучного знания и в каком смысле знание, которое мы получаем, занимаясь естественными науками, есть истина».

«Но решению старой философской проблемы, о которой мы упомянули, ныне способствует и другое обстоятельство. В наше время на недосягаемую высоту поднялись не только техника экспериментирования и искусство возведения здания теоретической физики, но и их дополнение — логическая наука — достигло существенного успеха. Ныне существует общий метод рассмотрения естественнонаучных вопросов, который во всех случаях облегчает уточнение постановки проблемы и способствует подготовке ее решения. Я имею в виду аксиоматический метод.

Возникает вопрос: какое отношение имеет познание природы к аксиоматике, о которой сегодня говорится так много? Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести все здание теории. Но значение аксиоматики отнюдь не исчерпывается этим замечанием. Лучше всего суть аксиоматического метода нам позволят понять примеры. Древнейший и наиболее известный пример аксиоматического метода — геометрия Евклида».

Комментарий теории понятий: «Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработанная Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида. Но даже в аксиоматике Гильберта отсутствует возможность определения новых геометрических объектов».

А вот еще один пример аксиоматического метода, заимствованный мной из совершенно другой области. Мы привыкли к тому, что в наших теоретических науках используются формальные процессы мышления и абстрактные методы. Аксиоматический метод принадлежит логике. При слове «логика» у многих возникает представление о предмете очень скучном и трудном. Но сегодня логическая наука легко понимаема и очень интересна. Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов.

Следование аксиоматическим методам должно, как нам кажется, действительно привести к системе законов природы, соответствующих в своей совокупности действительности, и необходимо лишь мышление, то есть дедукция в терминах понятий, чтобы построить все физическое знание; и тогда был бы прав Гегель, утверждавший, что все явления природы можно вывести из понятий.

Инструментом, посредством которого осуществляется взаимосвязь теории и практики, мышления и наблюдения, служит математика; она наводит мосты и неусыпно следит за тем, чтобы те не утратили способность выдерживать нагрузку. Отсюда следует, что в основе всей нашей современной культуры, поскольку она направлена на постижение природы разумом и использование природы на благо человеку, лежит математика. Еще Галилей сказал: «Понять Природу может лишь тот, кто знает язык, на котором она говорит с нами, и его письмена; язык же ее — математика, письмена — математические фигуры». Канту принадлежит следующее высказывание: «Я утверждаю, что в каждой области естествознания собственно науки столько, сколько в ней математики».

Истинная причина, по которой Канту не удалось найти неразрешимую проблему, по моему мнению, состоит в том, что неразрешимых проблем вообще не существует. Вместо непознаваемого, о котором твердят глупцы, наш лозунг гласит прямо противоположное: «Мы должны знать, мы будем знать».

В обоснование логики этого утверждения можно привести его замечание о логических парадоксах. Гильберт писал: «…эти парадоксы происходят скорее потому, что используются недопустимые, бессмысленные образования понятий, которые в моей теории исключаются сами собой». Можно сказать, что теория семантических понятий обеспечивает в соответствии с теорией Гильберта постановку семантически корректных проблем, что гарантирует их разрешимость. Алгоритмически неразрешимых проблем не существует!

К сожалению, Гильберт не определяет, что есть аксиоматика. Он считает, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов. Некоторое аксиоматическое определение, которое может быть использовано для определения различных новых сущностей, предлагает Кантор.

4. Диалектическая теория семантических множеств

«Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности теории множеств. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Георг Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики). Существует два подхода к понятию множества.

«Наивная теория множеств» Георга Кантора. Дать определение чему-либо это значит выразить понятие через ранее определенные. При этом должны быть некоторые базовые понятия, которые формально не определены. Множество может быть одним из таких понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой четко определенный набор объектов. Кантору принадлежит также следующая характеристика понятия «множество»: Множество — это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое. Однако вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, в частности к парадоксу Рассела».

Это текст из «Викизнания».

До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов. В конце XIX века Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Теория понятий считает это утверждение ошибочным, абзацем выше приведено дословное несколько иное канторовское определение понятия множества.

Множество объектов, обладающих свойством A (x)!, обозначается {x|A (x)}!. Если некое множество Y= {x|A (x)}!, то A (x)! называется характеристическим свойством множества Y!. Данная концепция привела к парадоксам. После этого теория множеств была некорректно аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

На день сегодняшний имеются и другие определения понятия множества.

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое. Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Теория понятий предлагает и использует несколько иное определение множества не в противоречии с наивным определением Кантора.

Диалектика теории множеств

В начале XX века Г. Кантор пришел к выводу, что интуитивная математика, которой он занимается, требует логического обоснования, требует формализации. Требуется основание математики, и Кантор занялся философией математики, проблематикой мышления в математике. Теория понятий считает, что в соответствии с диалектическим законом единства и борьбы (конкуренции) противоположностей, интуитивная математика распалась на две математики: аксиоматическую математику, основанную на формализации, которая абстрагируется от семантики естественного языка, и противоположную прикладную, основанную на использовании этой самой семантики. Занявшись философией математики, Кантор хотел как лучше, а получилось как всегда. В результате появилась не философия математики, а математическая философия (онтология, информатика) аналогично возникновению других математических наук: математической физики, математической логики и т.д., что лишний раз подтверждает, что математика является царицей всех наук. К слову, можно заметить, что саму философию в свое время предложил математик Пифагор. Теория понятий считает, что эта математическая философия представляет единение всех имеющихся наук.

Формализа́ция — представление какой-либо содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации, научных теорий) в виде формальной системы или исчисления.

Поскольку лингвистическая структура естественного языка не совпадает с логической структурой форм и законов мышления, которые воплощаются в этом языке, логика вынуждена создавать специальные средства, которые бы дали возможность изъять из естественного языка формы мышления, их логические свойства, существенные отношения между ними, определить принципы логической дедукции, критерии различия правильных и неправильных способов рассуждения.

Создание логики специального языка, наряду с существующей на естественном языке, есть особый процесс, который предусматривает, что созданная искусственная знаковая система является средством фиксации логической структуры мысли, с одной стороны, и средством исследования логических свойств и отношений мысли, с другой. То есть язык логики — это прежде всего её метод. Принято говорить не «искусственный язык логики», а «формализованный язык логики». С лёгкой руки немецкого философа Иммануила Канта логике приписали прилагательное «формальная», поэтому логику стали называть формальной, а её метод — формализацией.

Любая формализация по определению игнорирует некоторую часть доступной информации и, следовательно, обедняет содержательное представление об исследуемом объекте.

Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

Формальная система — это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в которой представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учёта смыслового содержания, то есть семантики. Строго описанные формальные системы появились после того, как была поставлена задача Гильберта. Первые ФС появились после выхода книг Рассела и Уайтхеда «Формальные системы».

И в то же время. Философия математики предполагает также построение семантической теории «языка» математики для изучения смысла математических высказываний и сущностей абстрактных объектов. Теория понятий, напротив, основана на использовании семантики естественного языка, полагая, что естественный язык за время своего многовекового развития наилучшим образом представляет реальный мир. Теория понятий считает, что реальный мир определяет прикладную математику, которая его представляет. Семантическая математика более прагматична.

Ещё одним из вопросов философии математики является вопрос о собственной (онтологической) возможности выделения оснований математики, Первый в истории философии ответ на данный вопрос дал Платон в диалоге «Парменид» в форме тезиса «теория соотношения единого и многого образует мир». Этот тезис почти дословно представляет определение множества Кантора.

Единение совокупности семантических понятий образует понятие виртуального мира.

Теория понятий считает, что, занявшись философией математики, Кантор осознал, что материальность реальна, и это осознание он представил определением понятия множества, что не исключает возможность использования в теории множеств (как и во многих других реально создаваемых в реальном времени теориях) понятия реального времени (Real Time). В теории понятий истинность утверждения «сегодня пятница» возрастает по мере её приближения. Аристотель отдыхает. Работает иная, диалектическая логика.

Кроме того, Кантор задумался, как бы абстрактную высшую математику, которой он занимался всю жизнь, можно бы было применить, использовать в быту, в обычной человеческой деятельности. В работе https://studfiles.net/preview/6718656 довольно подробно рассмотрены философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора [2].

Кантор пришёл к заключению, что для превращения математики в содержательную прикладную дисциплину необходимо в математике рассматривать предметы мышления наряду с прочими предметами созерцания. Кантор пришел к выводу концепции — аксиоме, что в любой науке (не исключая и математику) обобщающее понятие может представлять всю совокупность определяющих его инициальных понятий, и сформулировал это утверждение в виде определения понятия множества. Таким образом, проблемой мышления в конкретных науках является обнаружение как исходных, инициальных, так и обобщающих понятий. Кантор использовал обобщающие понятия в качестве типа данных в прикладных дисциплинах.

Сущность, определяемая определением понятия множества, учитывает, как естественные изменения предметов созерцания, так и естественные изменения естественного интеллекта и даже учитывает изменения самой математики в процессе её развития. Сплошная диалектика. Предлагая определение понятия множества, Кантор превращает абстрактную математику в естественнонаучную дисциплину. Предложив определение понятия множества, Кантор поставил математику с ног на голову. Даже коллеги перестали понимать диалектику его работ. Кантор отметил в одном из писем: «…согласно Миттаг-Леффлёру, я должен подождать до 1984 года, что кажется мне слишком большой просьбой!.. Но конечно, отныне я никогда ничего не хочу знать об Acta mathematica». Теория семантических понятий трактует определение понятия множества как постановку задачи мышлению нахождения алгоритма построения множества!

Предложив определение понятия множества, Кантор тем самым формализовал диалектику. Предложил схему развития и совершенствования не только математики. Больше того, предложенная Кантором формализация определяет диалектическую диалектику. Кантор осознавал, что даже математика эволюционирует. Эволюция есть сходящаяся последовательность семантических определений.

Начиная с Гегеля, диалектика противопоставляется метафизике Канта как способу мышления, который рассматривает вещи и явления как неизменные и независимые друг от друга.