Бесплатный фрагмент - Теорема Гёделя
И её поэтическое преодоление
Курт Гёдель и Альберт Эйнштейн
Среди ученых, находившихся под влиянием Курта Гёделя, был его друг Альберт Эйнштейн. С 1940 по 1955 они были коллегами в институте прикладных исследований в Принстоне. Основатель теории игр Оскар Моргенштерн свидетельствует, что когда Эйнштейн потерял энтузиазм к своей собственной работе, он приходил на работу для того, чтобы «иметь привилегию идти домой вместе с Куртом Гёделем». Один из ассистентов Эйнштейна в Принстоне вспоминал: «Единственным человеком, который был в течение последних лет лучшим другом Эйнштейна, и в некотором смысле странным образом похожим на него, был Курт Гёдель, величайший логик.
Они были весьма различны почти во всем — Эйнштейн общительный, счастливый, улыбчивый и здравомыслящий, а Гёдель предельно важный, очень серьезный, совершенно одинокий и недоверчивый к здравому смыслу как средству достижения истины. Но они имели общее качество: оба шли прямо и искренне к вопросам, лежащим в самом центре вещей».
Александр Шум «О Теореме о неполноте»
(предисловие к первому изданию)
Человек хочет знать и уметь как можно больше, чтобы быть как можно более свободным. Природа выставляет ему границы, но человек, несмотря ни на что, ищет и находит возможности эти границы преодолевать. Громадные просторы океанов не остановили человека в стремлении достичь дальних земель. Притяжение Земли не остановило его в стремлении летать. Бездна холодного космоса не остановила человека в стремлении побывать на других планетах. Есть, однако, такие границы, которые не только ещё не преодолены сегодня, но кажутся непреодолимыми вообще. Такова, например, граница увеличения скорости — невозможно двигаться со скоростью большей скорости света. Такое ограничение устанавливает теория относительности Эйнштейна. Это обстоятельство, так же как и имя Альберта Эйнштейна, сегодня известно каждому грамотному читателю. Между тем, столь же важное другое принципиальное ограничение и имя открывшего его учёного имеют незаслуженно меньшую известность. В 1930 году Курт Гёдель доказал теорему, сегодня известную как Теорема о неполноте, которая навсегда изменила понимание математики. Эта теорема утверждает, что в любой формальной системе, содержащей арифметику, найдётся истинное, но недоказуемое предложение. Это означает, что формализовать математику в целом так, чтобы все её верные теоремы имели формальные доказательства, невозможно.
Как преодолеть ту границу, преодолеть которую невозможно?
В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Давид Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем, а несколько позже предлагает программу аксиоматического обоснования математики. Программа Гильберта предусматривала обоснование всей математики путём её полной формализации. В попытках выполнить эту программу и была найдена Гёделем Теорема о неполноте — теорема, которая показала, что программа Гильберта невыполнима. Этот результат обескуражил, но не отменил энтузиазма математиков, которые равнялись на девиз Гильберта: «Мы должны знать — мы будем знать!» Список 23 проблем Гильберта на протяжении XX века служил направляющим указателем приложения их усилий. Не всегда эти проблемы имели такое решение, о котором думал сам Гильберт. Так, например, десятая проблема Гильберта требовала найти алгоритм, определяющий, имеет ли произвольно взятое диофантово уравнение решение в целых числах. Решение этой проблемы, найденное в 1970 году Юрием Матиясевичем, оказалось следующим: такого алгоритма не существует. Отметим здесь, что автор этого предисловия, так же как и автор стихов данного сборника, являются выпускниками той же школы, которую заканчивал Юрий Матиясевич (это физико-математическая школа-интернат №18 при МГУ, которая ныне носит имя Андрея Николаевича Колмогорова).
Теорема Гёделя о неполноте отчётливо указала на то, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать её, и интуицию нельзя исключать из пределов царства математики.
При всём этом философское значение теоремы о неполноте и второй теоремы Гёделя, устанавливающей невозможность доказать непротиворечивость теории средствами самой этой теории, выходит далеко за рамки чистой математики. Согласно позитивистской философии науки любая физическая теория является математической моделью, а это значит, что она с необходимостью должна быть представлена на языке математики. Мы и наши модели являемся частью вселенной, которую описываем, и в своих описаниях мы также не сможем выбраться за те границы, которые устанавливают теоремы Гёделя.
И всё-таки, как преодолеть ту границу, преодолеть которую невозможно? Читатель может попробовать увидеть перспективы поиска ответа на этот вопрос в новом сборнике стихов Александра Батожка, который составили стихотворения, написанные в течение последних двух лет.
Отметим, что «Перспективы преодоления Теоремы Гёделя» это седьмая книга поэта, выпущенная издательством «Волшебная лампа». Некоторые стихотворения из неё были ранее напечатаны в книге Анны Марии «ФИЛО-СОФИЯ в графике и цвете», выпущенной в 2017 году изд. «Издательские решения».
© Александр Шум, математик-логик,
доцент кафедры высшей математики
Тверского технического университета.
март 2018, Тверь
Михаил Строганов «Математика — это поэзия»
Мой школьный приятель Александр Батожок (мы учились в одном классе в городе, который назывался Калинином, пока он не перешел в математическую школу при МГУ) периодически исчезает и потом снова (периодически) появляется в моей жизни, наверное, для того, чтобы напомнить мне, человеку, который профессионально занимается литературой, что и сейчас еще можно видеть мир и человека по-новому и облекать это свое видение в необычные слова и образы.
Мы расстались с ним в тот момент, когда на мою долю остались школьные представления о понятности и прозрачности царства натуральных чисел (школьная такая арифметика), а ему стало открываться знание о невозможности доказать или опровергнуть непротиворечивость арифметики с помощью простых (сводимых к конечным, финитным понятиям) средств. Наши школьные годы прошли под споры о «физиках» и «лириках», а потом оказалось, что «физик» Батожок очень даже «лирик».
С возрастом ощущение новизны утрачивается. Всё уже было, всё проходит, и поэтому — зачем? Батожок врывается в мою жизнь, отвлекает меня от моей срочной литературной работы, нарушает привычный, устоявшийся ритм — для того, чтобы я читал это и удивлялся:
Есть право на усталость,
Есть право на покой,
Есть право не разгадывать
Загадки никакой…
Я никогда не думал, что Саша — поэт. И узнал об этом в общем-то поздно. И мне, насколько я понимаю задним числом, было трудно смириться с тем, что он поэт. Но я не могу, не имею права не признать того, что поэзия в нем и в его сочинениях днюет и ночует, даже если в каких-то строчках я вижу погрешности против построения, против смысла. Бог с ними, с ошибками. Он упрямый и не юный. И учить его — только портить. Да и почему я должен его учить? Он хорош такой, какой есть.
Не филолог, Батожок не читал Бахтина. Но он изучал Гёделя. И относительность любого человеческого знания — любимая мысль современного человечества — организует его стихи. И хорошо, что он читал не Бахтина, а Гёделя. Поэтов, которые знают Бахтина, — много. Поэтов, которые видят относительность нашего знания о мире через Гёделя, может быть, вообще нет. Я бы не стал так длинно называть стихотворную книжку, но и это его дело. Если, в конце концов, он умеет увидеть мир по-своему и написать мне об этом, — значит, он имеет право называть свою книгу так, как хочет. А вдруг в этом что-то есть?
Я не буду сейчас перечислять все наиболее яркие примеры из этой книги, где Батожок выстраивает свой мир. Это дело стороннего наблюдателя, а я всё-таки заинтересованное лицо. Я просто приведу всего лишь два примера из его стихов, в которых я вижу не только его, но и свой собственный мир. И думаю, что это мир и многих других современных людей:
Мы виноваты тем, что родились невинны,
И пятимся вперед, а наступаем вспять.
На излучине стою,
В чем-то с ней согласен.
Жизнь ужасна, но смотрю:
Сверху вид прекрасен.
И именно потому, что я считаю, что этот мир не выдумка одного Батожка, а наш общий мир, я и называю его поэтом.
© Михаил Строганов, доктор филологических наук,
ведущий научный сотрудник в ИМЛИ РАН.
Член Пушкинской комиссии РАН.
29 февраля 2024, г. Тверь
ТЕКСТЫ, ПИСЬМА, ОСТРОВКИ
* * *
Подари мне цветок,
Но оставь —
Обожженный асфальт
От следов твоих ног,
Чтобы плавил он снег в январе
И я смог
Отыскать по следам:
И твой дом, и порог.
* * *
Есть право на усталость,
Есть право на покой,
Есть право не разгадывать
Загадки никакой.
И даже мира здания
Загадки отложить:
Нас ждут трава, купания —
Обязанности жить…
Интеграл
По старым строчкам, по брусчатке
Бреду на прошлое с оглядкой.
Аптека, улица, канал —
Стоит и дышит интеграл,
Двойной, среди оград и нот
Считает дней теченье, вод
По переменным от нуля
До стужи с ветром февраля.
И жаль, и грустно, но душе
С собой не взять его уже.
И остается все, как встарь:
Аптека, улица, фонарь…
* * *
Годы тянулись, тащились, бежали…
Не повернуть их течение вспять,
Просто прошу, чтоб они постояли,
Чтобы успеть мне шнурки завязать.
Где берег мой…
На сутки после Рождества,
По памяти, по старым океанам,
Иду без карт и капитана,
И в штиль стою, бросая паруса,
И в бурю, стаксель ставя,
Волну целую в пенные уста,
Молитву кроткую беззвучно повторяя:
«Где берег мой,
Где берег мой, где берег мой?»
Где берег мой — там скалы под водой,
Там скалы под водой, там скалы под водой!
Не пустят в бухту, где всегда покой,
А в борт ударят каменной рукой.
Трамвай переехал
Однажды,
Каждого давит Трамвай,
А кого-то и дважды.
Трамвай переехал…
Так бывает,
Переехал там, где ни рельс, ни трамваев,
Переехал спокойно, почти осторожно.
Разве это не больно, разве это возможно…
Да нет, понятно, совсем невозможно,
Разве случайно, чуть-чуть, осторожно,
Самую малость, по самому краю,
Можно, конечно, проехать трамваю.
И кого давят, неполная часть,
Едет в трамвае с судьбою смирясь.
Смотрит по ходу прямо в окошко,
Стоп, раздавили кого-то немножко.
Двери открылись, еще половинка,
С нею знакома вон та четвертинка.
Ты говоришь: мне не пиши теперь…
Ты говоришь: захлопнута,
закрыта дверь.
Ты говоришь:
мне не пиши теперь,
мне не пиши,
мне не пиши теперь,
мне не пиши, услышь меня, поверь.
Я говорю:
мне не пиши теперь,
тебя молю, мне не пиши теперь,
мне не пиши ни ночью, ни в тиши,
ты только не пиши,
мне больше не пиши,
мне не пиши сегодня и вчера,
ты не пиши мне больше никогда,
и завтра тоже, тоже не пиши,
ты соберись и не пиши,
и не пиши,
ни телеграмм не шли,
ни писем мне не шли,
в них не пиши ни запятой, ни строчки,
не ставь в них даже точки,
оставь меня, оставь,
оставь меня и больше не пиши
и не звони,
и я звонить не буду,
и уходи,
да, уходи,
тебя я не забуду,
но никогда, но никогда не догоню,
не догоню,
но рядом
буду.
На памяти белым бело…
На памяти белым бело,
Как на листе пустом,
Всё замерло и замело
Тропинку в старый дом.
И снег идет из темноты
Без неба, облаков,
И нет тебя, и нет мечты,
Не вижу твоих снов.
На памяти белым бело,
Где кисть, где краски взять,
Чтобы всё то, что замело,
Расчистить, откопать.
Чтобы дорожкою пройти
К крыльцу в усталый дом,
И ключ под ковриком найти,
И вспомнить о былом.
На памяти белым бело,
Но, стуже вопреки,
Ищу дорогу в этот дом,
Где тлеют угольки.
Иду с вязанкой звонких дров
В надежде растопить
Там лед на окнах, и потом
Готов любить, любить.
На памяти белым бело,
На памяти давно темно,
На памяти одно окно,
На памяти, на памяти,
На памяти оно.
Лента Мёбиуса
На стороне одной,
Но с двух сторон, иду
И антиподом сам себе являюсь.
С границею одной на замкнутом кругу
Бегу вперед, но просто повторяюсь.
И кажется всё ново в каждый раз,
И мы находим в прелести движения
И истины былой обворожение,
И в прошлом назидательный наказ.
На стороне одной,
Но сам себе не верю,
Ищу тупик на плоскости кривой
И замкнутой,
Ищу калитку, двери,
Но открываю только пустоту.
Здесь нет замков и пут,
В свободном мы плену.
Бесплатный фрагмент закончился.
Купите книгу, чтобы продолжить чтение.