Бесплатный фрагмент - Репетитор по математике. Арифметика

Введение или как работать с этой книгой

1. Почему репетитор? Название возникло сразу. Не потому, что подобных названий почти нет. Судите сами, это ведь не учебник, где весь учебный материал подаётся от более простого к сложному. В учебнике существует тенденция перескакивания с одной темы на другую, а потом возвращение к уже более сложными заданиям. В репетиторе такого нет. Если вы начали изучать какую-то тему, то изучаете её от начала и до конца. Кроме этого, в репетиторе теоретический материал подан в самом необходимом минимальном объёме без каких-либо доказательств и выведения формул. Это также и не справочник, где существует множество формул, определений, таблиц, где много теоретического материала, но почти нет практического применения теоретических знаний. Цель же репетитора — обучение практическим навыкам решения разнообразных математических задач. Наиболее похож репетитор на практикум, там тоже большое внимание уделяется практическим занятиям, но в отличие от практикума, где почти нет теоретического материала, в репетиторе он присутствует. Кроме этого, в данном учебном пособии есть тестовые задания, которые, как правило, отсутствуют в учебниках, справочниках, практикумах.

2. Кому прежде всего будет полезна эта книга? Репетитор ориентирован на основные задания, которые могут встретиться на экзаменах по математике. Поэтому данное пособие прежде всего станет незаменимым помощником именно для учащихся средней школы. Она также может быть применима и учителями, и выпускниками средних школ, и даже абитуриентами, а так же тем, кто хочет повысить свою математическую грамотность и научиться решать типовые математические задачи. Автор отдаёт себе отчёт в том, что никакое учебное пособие не заменит реального живого репетитора, который сможет подкорректировать и направить свои усилия на те разделы математики, в которых ученик разбирается не совсем хорошо. Увы, книга лишена такой возможности. Она может служить только дополнением к занятиям с реальным репетитором. Однако репетитор стоит немалых денег и не у всех есть возможность его нанять. Поэтому данное учебное пособие является хоть и неполной, но альтернативой. Ещё будучи учителем в школе, автор обратил внимание, что овладеть основными математическими навыками может практически любой человек. Есть только небольшой процент людей, которые не могут этого сделать по разным объективным причинам. Остальные не знают математику и не умеют решать математические задачи потому что, или не хотят, или не хватает времени, или просто в жизни это может не пригодится, или лень заниматься каждый день. Таким людям я не рекомендую открывать репетитор. Вы не добьётесь желаемого результата и будете винить во всем автора. А для тех, кто решил серьёзно заняться изучением математики — добро пожаловать на страницы этого пособия. Если хотя бы половине этих людей репетитор поможет, автор будет считать, что его труд не был напрасным.

3. Чем же репетитор отличается от других учебных пособий? Прежде всего простотой подачи материала. Автор общается с обучаемым и указывает на характерные ошибки, которые могут встретиться при решении задач. В репетиторе показано решение типовых задач, а также задач повышенной трудности. Каждая задача или пример решается досконально с пояснениями, что позволяет усвоить базовые навыки даже людям, которые считали, что математика не для них.

4. О структуре данной книги. Вся книга поделена на темы. В каждой теме есть необходимый минимум теоретического материала, примеры решения задач. В конце каждого раздела даются два тестовых задания и задачи для самостоятельного решения.

Поговорим отдельно о каждой из этих составляющих.

Теоретический материал. Как было уже сказано ранее, это тот необходимый минимум, без которого невозможно обойтись при решении заданий. Если формула выведена крупным шрифтом — её необходимо запомнить. Тоже самое касается формулировок и прочих элементов теории. Таких обязательных элементов для запоминания в книге немного. Обучение построено по американской системе, где от учащегося не требуется зазубривание теоретического материала, а предпочтение отдаётся только навыкам его применения на практике. Поэтому, при самостоятельном решении задач автор разрешает пользоваться формулами. Запоминание формул произойдёт автоматически при практическом их применении. В конце книги собран и изложен в кратком виде весь теоретический материал. Им вы можете пользоваться при решении задач. Это не значит, что теоретический материал можно совсем не изучать или изучить бегло. Как я уже сказал, в конце каждой темы есть тестовые задания и без базовых знаний теоретического материала, вы вряд ли сможете их пройти.

Примеры решения задач. В репетиторе рассмотрены решения как базовых типовых задач, так и задач повышенной сложности. Все задания взяты из разных источников: учебных пособий, экзаменационных работ и т. д. Автор уважает авторские права других, поэтому в конце книги дан список использованной литературы. Как было сказано выше, все примеры решения задач приведены с подробными пояснениями.

Тестовые задания. К каждой теме предложено два тестовых задания. Каждое тестовое задание включает 32 вопроса с четырьмя вариантами ответов, один из которых является правильным. Оценивание тестовых заданий производится по 12-ти бальной системе. Чтобы не путаться, привожу перевод 12-ти бальной системы в пятибальную.

12 баллов — оценка 5+

11 баллов — 5

10 баллов — 5-

9 баллов — 4+

8 баллов — 4

7 баллов — 4-

6 баллов — 3+

5 баллов — 3

4 балла — 3-

3 балла — 2+

2 балла — 2

1 балл — 2 —

Я надеюсь, что последние шесть строчек вам не понадобятся при оценивании тестовых заданий. Только все должно быть по честному. Помните, если вы будете не объективны, то в первую очередь обманите сами себя.

Теперь, как оценивать тестовые задания. За каждое правильное тестовое задание начисляется 1 балл.

Если вы набрали 31—32 балла, то это 12 баллов по 12-ти бальной системе оценивания.

29 —30 — 11 баллов

27 — 28 — 10 баллов

25 — 26 — 9 баллов

23 — 24 — 8 баллов

21 — 22 — 7 баллов

19 — 20 — 6 баллов

17 — 18 — 5 баллов

15 — 16 — 4 балла

Если вы набрали меньше 15 баллов, то вам следует вернуться к изучению теоретического материала, а потом пройти тест заново.

Продолжительность тестирования — 45 минут. Выделите для тестирования отдельный день. Берите чистый лист бумаги и вперёд. Тесты это не только интересно, но и познавательно. Желательно пройти все предложенные тесты (но не в один день), в конце книги имеются ответы на тестовые задания для проверки. Не стоит в них заглядывать раньше времени.

Задачи для самостоятельного решения. Автор сознательно не выделял какими-то знаками задания повышенной сложности и считает, что такое приём способствует более спокойному решению задач без излишнего волнения и стресса. В процессе решения вы сами сможете понять, сложна для вас данная задача или нет. Притом сложность задачи — это субъективная оценка. Некоторые с лёгкостью могут решать подобные задачи, а вот более простые в нашем понимании могут вызвать затруднение. Если вы поняли, что можете приступать к решению задач, то не медлите. Каких-то ограничений по количеству решаемых задач в день нет. Когда поняли, что устали, то занятие можно прекратить, но хотя бы 30 — 40 минут в день вы должны уделять решению задач. Это не обязательно делать изо дня в день. Через какое-то время можно сделать себе 1- 2-х дневный перерыв. Но с отдыхом не затягивайте. Почувствовав, что немного отдохнули и есть свободное время, приступайте снова к решению задач. Автор рекомендует решить все задачи, которые есть в разделе для самостоятельного решения. Решив какую-то задачу, загляните в раздел ответы и, убедившись, что вы все решили правильно, продолжайте дальше. Если ваш ответ не совпадает с ответом в конце книги, рекомендуется ещё раз пройтись по своему решению и выявить ошибки. Если вы их не обнаружили, то загляните в раздел « Указания к решению задач». Он находится после раздела ответов. Прочитав указания к решению задач (они есть ко всем задачам), снова приступайте к решению сложной для вас задачи. К задачам для самостоятельного решения есть полные и подробные решения, которые находятся в соответствующем разделе. Но это последний раздел, в который вам следует заглянуть. Это в том случае, когда задача не решается без посторонней помощи. Не злоупотребляйте этим разделом, иначе вы так никогда и не научитесь решать математические задачи. Постарайтесь ограничиться только разделом «Указания к решению задач». Этого бывает достаточно, чтобы понять свою проблему и попытаться её искоренить.

В конце книги, как я уже сказал, находится справочный раздел, ответы к тестовым заданиям, ответы к задачам для самостоятельного решения, указания к решению задач, решение задач. Кроме этого, там же находится список использованной литературы. Структура книги максимально удобна для использования.

Кроме этого, в конце книги  будет предложена итоговая контрольная работа из 8 заданий (2 варианта). Выбирайте любой вариант и приступайте к решению. Время решения контрольной работы полтора часа. Только когда решены все задания контрольной работы, можно заглянуть в ответы и оценить свои знания. Если из 8 заданий вы решили полностью правильно 5-6, то можете себя поздравить. Вы не зря потратили время, работая с этой книгой.  Пользоваться справочными материалами при решении контрольной работы не рекомендуется, как и другими учебниками и учебными пособиями. Разрешается использовать только калькулятор.

Автор будет благодарен за любые замечания и обнаруженные неточности и ошибки при написании этого пособия. А также будет рад любому мнению и практическим советам от учителей и преподавателей математики по улучшению данной книги.

Примечание: некоторые понятия, изложенные в этом пособии (например,

бесконечная периодическая дробь, среднее геометрическое и др.) не относятся к разделу «Арифметика», но они введены здесь для целостности восприятия.

Арифметика

Арифметика — базовая дисциплина для овладения более сложной составляющей математики — алгебры. Без навыков решения арифметических задач невозможно выучить алгебру и геометрию. Это нижний фундамент и основа грандиозного сооружения под названием математика. Очень часто на экзаменах по математике учащиеся делают именно арифметические ошибки, которые в итоге снижают им общий балл. Обидно? Конечно. А всё из-за того, что некоторые игнорируют учебный материал, изучаемый в пятом-щестом классе средней школы и считают его чем-то несерьёзным и ненужным. Это заблуждение.

Понятно, что для многих содержимое этой книги известно, но для целостности восприятия я всё-таки рекомендую вам ознакомиться с предложенными темами, решить типовые задачи и ответить на тестовые задания. Это совсем несложно и поэтому на него вы потратите минимум времени, но зато, поверьте мне, в дальнейшем вам будет намного проще осваивать более сложный материал. Итак, вперёд, друзья мои! Время не ждёт.

Тема 1

Числа, цифры, арифметические действия, порядок действий, скобки

Само название «арифметика» происходит от греческого слова означающего «число». Само число — это простейшие понятие, его можно пояснить лишь предметным образом. По мере развития человечества возникла необходимость счета людей, животных, предметов домашнего обихода и прочих вещей. Так возникла количественная оценка предметов. Многие задают вопрос, чем же число отличается от цифры? Цифра — это письменный знак, изображающий число. Сейчас, в основном, мы пользуемся арабской системой записи чисел. И совсем не задумываемся, написав цифру 2, мы отлично понимаем, что это цифра больше, чем цифра 1 и меньше, чем цифра 3. Арабская система исчисления — десятичная. Это означает, что названия всех чисел образованы из названий чисел первого десятка и чисел 10, 100, 1000.

Например, 17 (семнадцать — семь на (сверху) десять), 50 (пятьдесят — пять десятков), 400 (четыреста — четыре сотни). Особняком стоит 90 (девяносто),образованное по другому принципу (девять до ста) и число 40 (сорок) — единственное исключение.

У разных народов были разные системы нумерации. До наших дней дошла ещё римская нумерация чисел. Но она очень неудобна при операциях сложения, умножения и так далее, поэтому в математике не используется. Для желающих познакомиться более детально с римской нумерацией чисел, добро пожаловать в дополнительный раздел. Но мы не будем сейчас на этом останавливаться. Следует заметить, не все числа, которыми мы сейчас пользуемся, возникли одновременно. Первыми числами, которыми пользовался человек, были натуральные числа, обозначаемые буквой N. Именно, они возникли первыми при счёте предметов. Натуральные числа начинаются с единицы и продолжаются до бесконечности. Примеры таких чисел довольно просты: на улице 18 домов, в коробке 12 карандашей, в библиотеке 5432 экземпляра книг, в городе проживает 252 196 жителей. Далее возникла необходимость ввести число 0, ведь при вычитании одинаковых натуральных чисел получалось «нечто», не имеющее материального обоснования. Перед тем как появилась необходимость введения отрицательных чисел для обозначения этого «ничего» ввели число 0. По мере дальнейшего совершенствования человеческих отношений, развития науки и техники возникла необходимость в отрицательных числах. Натуральные числа, противоположные к ним и 0 составили множество целых чисел Z. Потом возникли дробные числа. О дробных числах мы поговорим подробнее в соответствующей теме. Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел Q. Если к множеству рациональных чисел добавить иррациональные числа, мы получим множество действительных чисел R. Для наглядности составлена такая таблица. (табл.1)

Для удобства чтения и запоминания больших чисел их разбивают на классы. Справа отделяют три цифры (первый класс), потом ещё три цифры (второй класс) и т. д. Между собой классы отделяются небольшим пробелом. Первый класс даёт число единиц, второй — число тысяч, третий — миллионов. Каждая из цифр класса наз. его разрядом, счёт разрядов также идёт справа. Числа в первом классе справа налево: единицы, десятки, сотни, во втором классе соответственно: тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч. В третьем классе: миллионы, десятки миллионов, сотни миллионов. Единица четвёртого класса называется миллиардом, пятого триллионом. Существует единица и для 6, 7, 8 и т. д. классов, но мы их рассматривать не будем. А теперь поупражняемся.

Таблица 1

35 461 298 читается так: 35 миллионов 461 тысяча 298.

Не следует бояться больших чисел, число 12 021 306 200 025 имеет 5 классов, поэтому читается таким образом: 12 триллионов 21 миллиард 306 миллионов 200 тысяч 25.

Теперь перейдём непосредственно к арифметическим действиям. Мы не будем давать здесь определений арифметических действий, они известны всем. Итак, арифметические действия — это сложение, вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение корня. Степени и корни изучаются в курсе алгебры и мы их рассматривать не будем. Здесь приведём примеры основных арифметических действий:

Сложение.

8 +5 = 13. Здесь 8 и 5 — слагаемые, 13 — сумма.

Вычитание.

15 — 8 = 7. Здесь 15 — уменьшаемое, 8 — вычитаемое, 7 — разность.

Умножение.

6 × 5 = 30. Здесь 6 — множимое, 5 — множитель, 30 — произведение.

Деление.

30 ÷ 6 = 5. Здесь 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

Эти термины нам понадобятся в дальнейшем.

Важнейшим понятием арифметики есть порядок действий. При вычислениях им нельзя игнорировать. Поэтому 4—2+1 будет равно трём если проводить действия в порядке их записи. Если же сначала сложить 2+1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим совсем другой ответ, которой равен единице. Чтобы указать в каком порядке нужно выполнять действия пользуются скобками. Действие, заключённое в скобки, выполняется раньше других. Таким образом, порядок действий при вычислениях:

1. Сначала выполняются действия, заключённые в скобки. Умножение и деление делается в порядке их следования, но раньше, чем сложение и вычитание.

2. Затем выполняются оставшиеся действия, причём опять умножение и деление делается в порядке их следования, но раньше сложения и вычитания.

Рассмотрим пару примеров: (2+4) ×5.

Сначала вычисляем действие в скобках 2+4 = 6, далее следует умножение на 5:

6×5 = 30.

Это простой пример. Рассмотрим более сложный:

9+16:4—2 × (16—2×7+4) +6 × (2+5)

Сначала выполняем действия в скобках, не забывая о том, что умножение и деление идёт впереди сложения и вычитания.

Первая скобка: 2 × 7 = 14, 16 — 14 = 2, 2 +4 = 6.

Вторая скобка: 2 +5 = 7.

Наш пример примет вид: 9 +16: 4 — 2 × 6 +6 × 7. Теперь выполняем операции умножения и деления в порядке их следования:

16: 4 = 4, 2 × 6 = 12, 6 × 7 = 42.

И окончательно, выполняем операции сложения и вычитания в порядке их следования. Имеем 9 +4 — 12 +42 = 43.

Иногда приходится заключать скобки в скобки, поэтому пользуются ещё и квадратными скобками.

Порядок действий: сначала выполняются в круглых скобках, потом в квадратных, а потом все остальные действия. Например,

5+2× [14—3× (8—6)] +32: (10—2×3)

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:

8 — 6 = 2, 10 — 2 × 3 = 10 — 6 = 4

Действия в квадратных скобках дают: 14 — 3 × 2 = 8

Выполняя оставшиеся действия, имеем:

5 +2 × 8 +32: 4 = 5 +16 +8 = 29.

А теперь немного отвлечёмся. Сейчас в соц. сетях некоторые пользователи придумывает такое развлечение, они выкладывают простой арифметический пример и просят других пользователей дать правильный ответ. Вот, например,

10:2 (4—2).

Наиболее часто встречающиеся ответы 10 и 2.5. Вы уже немного продвинулись в арифметике и поэтому для вас не составит труда дать правильный ответ. Это число 10. 70％ пользователей дают правильный ответ на эту арифметическую задачу. И это, я считаю, неплохо. А теперь на этом примере рассмотрим характерные ошибки, которые делают остальные 30％.

Наиболее существенная ошибка. Простой арифметический пример пытаются решить алгебраическими методами, в частности раскрывая скобки (об этом методе поговорим в дальнейшем), тем самым нарушая порядок действий. Сразу замечу, алгебра и арифметика — это две разные дисциплины. В арифметике, в отличие от алгебры, основная функция скобки — обозначение приоритета очерёдности действий. Каких только определений не придумывается для этого ошибочного решения: коэффициент скобки, действия на скобку и т. д. Если вы таким образом решите данный пример, то получите 2.5. Внимание: неправильное решение.

10: (2×4 — 2×2) =10: (8—4) = 10:4 = 2.5

Другие пользователи помнят, что сначала выполняется действие в скобках, но потом делает характерную ошибку: они умножают двойку на то, что получилось в скобках, а потом уже выполняют деление. Запомните, никакого приоритета умножение перед делением не имеет, поэтому все оставшиеся действия делаются слева направо в порядке их написания. Если вы сделаете ошибку такого рода получите снова 2.5. Внимание: неправильное решение.

10:2×2 = 10:4 = 2.5.

Я не представляю, какие дебаты могли возникнуть, если был бы выложен более сложный арифметический пример. Часть тех, что делают ошибку утверждают, что их так учили и 30—50 лет назад этот пример решался именно так. Замечу, что арифметика — древняя наука и те правила, которые сложились ещё много веков назад действуют и по сей день. Интересно, что те, кто правильно решает данный пример не настолько агрессивны, как те, что решают его неправильно. В чём природа такого явления нужно спросить у психологов. Ещё одно ошибочное утверждение, некоторые доказывают, что правильных ответов может быть два и более. Это заблуждение, арифметика — точная наука и у любого задания есть единственно верный ответ (в отличие, кстати, от алгебры).

О единственно верном ответе есть отличный видеоролик, снятый американскими кинематографистами. Впрочем, смысл этого ролика немного в другом, я попытаюсь пересказать его содержание, но рекомендую вам самим посмотреть его. Достаточно в поисковой строке набрать 2+2=22 или название ролика «Альтернативная математика». В начале учительница пытается объяснить мальчику, что два плюс два равняется четырём, а не 22, как тот написал в тесте. Беседа с ребёнком ничего не даёт и тогда учительница приглашает родителей мальчика. Родители в недоумении и заявляют, что учитель не имеет права навязывать школьнику своё мнение, если ребёнок считает что два плюс два равняется 22, значит нужно согласится с его мнением. Дальше история становится ещё абсурдней. Директор школы настаивает на том, чтобы учительница извинилась перед родителями, т.к своим поведением она мешает школьникам мыслить самостоятельно и навязывает свои догмы. Дальше — больше, перед образовательным учреждением ученики выходят с плакатами на площадь, а учительницу вызывают на комиссию с требованием признать, что существует несколько правильных ответов. Учительница возражает: «Есть только один правильный ответ». В конце-концов учительница отстаивает свою точку зрения. Директор вызывает учительницу и перед журналистами и телевизионщиками говорит: « Нам придётся вас уволить, вы получите 4000. 2.000 за прошлый месяц и 2.000 за текущий. И тут учительница иронично замечает: « Не верно, это 22000». На этом ролик заканчивается. На самом деле он не о том что, математика — точная наука, здесь больше критика в сторону толерантного образования США. На самом деле создатели ролика немного ошиблись, т.к 2000 +2000 = 2 000 2 000,т.е 20 миллионов 2 тысячи, если считать по правилам альтернативной математики.

Мы пользуемся десятичной системой исчисления, это связано, скорее всего, с тем, что у нас на руках 10 пальцев. В компьютерных системах применяется двоичная система исчисления, а также восьмеричная и шестнадцатеричная. Кроме этого может существовать пятеричная, двенадцатеричная и какие угодно другие системы исчисления. Запись одного и того же числа в разных системах исчисления будет иной, чем в привычной нам десятичной системе. Кому это интересно, добро пожаловать в дополнительный раздел.

Тестовые задания к теме 1

Тест 1

1. Натуральные числа — это числа вида:

А) 0, 1, 2, 3,… Б) 1/1, 2/2,3/3,… В) 0, ±1, ±2, ±3,… Г) 1, 2, 3,…

2. — Выделить натуральное число:

А) 4/2 Б) 0 В) -3 Г) 1998

3. Какие действия выполняются всегда на множестве

натуральных чисел:

А) извлечение корня Б) сложение В) вычитание

Г) все вышеперечисленные

4. Целые числа — это числа вида:

А) 0, ±1, ±2, ±3,… Б) ± 1/1, ± 2/2, ± 3/3,… В) -2, -1, 1, 2,…

Г) 0, 1, 2, 3,…

5. Какие подмножества включают в себя множество целых чисел:

А) только целые положительные числа

Б) только натуральные и нуль

В) целые отрицательные, натуральные и нуль

Г) только натуральные

6. Указать целые числа:

А) 1/2 Б) -34 В) -0.2 Г) нет таковых

7. Рациональные числа — это числа вида:

А) a/b, где a — целое, b — натуральное

Б) a/b, где a, b — целые неотрицательные числа

В) a/b, где a — натуральное, b — целое

Г) a/b, где a, b — целые числа

8. Укажите целые числа меньше 0, но больше -5:

А) -5, -4, -3, -2, -1 Б) -4, -3, -2, -1 В) -5, -4, -3, -2, -1, 0

Г) -4, -3, -2, -1, 0

9. Укажите целые числа меньше -2, но больше -7:

А) -7, -6, -5, -4, -3 Б) -7, -6, -5, -4, -3, -2 В) -6, -5, -4, -3

Г) -6, -5, -4, -3, -2

10. Укажите целые числа больше -1,но меньше 1:

А) -1, 0, 1 Б) 0 В) -1, 0 Г) 0, 1

11. Укажите целые числа не больше 0, не меньше -1:

А) нет таких Б) 0 В) -1, 0 Г) -1

12. Найдите произведение чисел 11 и 125:

А) 12 625 Б) 11 125 В) 1 375 Г) 1 225

13. Вычислите 984: 8:

А) 150 Б) 125 В) 120 Г) 123

14. Какое действие выполняется последним при

нахождении значения выражения

1500 +800 × 300 — 500: 5

А) сложение Б) умножение В) вычитание Г) деление

15. Найдите частное чисел 84 и 7:

А) 12 Б) 11 В) 13 Г) 14

16. Вычислите 103 × 9:

А) 827 Б) 927 В) 1 027 Г) 977

17. Какое действие выполняется первым при

нахождении значения выражения

850 — 350 + (620 ×3 +50):2

А) вычитание Б) умножение В) сложение Г) деление

18. Сколько тысяч в числе 1 628 255:

А) 628 Б) 162 В) 1 628 Г) 28

19. Сколько сотен тысяч в числе, полученном при сложении

чисел 999 999 и 111 111:

А) 111 Б) 1 В) 11 Г) 1 111

20. Как правильно записать цифрами число:

два миллиарда пятьсот тринадцать миллионов

триста пятьдесят шесть тысяч восемьсот?

А) 25 133 568 Б) 250 013 300 568 В) 2 513 356 800

Г) 20 513 035 608

21. Запишите три раза подряд число 87 и три раза подряд

число 13. Сложите полученные числа. В результате будет:

А) один миллион десять тысяч сто

Б) сто одна тысяча сто

В) десять миллионов сто одна тысяча

Г) сто одиннадцать тысяч сто

22. Какое из чисел больше: 20 000 +9 000 +900 +90 +9

или 30 000 +1 000 +100 +10 +1

А) второе Б) первое В) числа равны Г) не знаю

23. Какое из нижеперечисленных чисел самое большое:

А) 1234567890 Б) 9876543210 В) 102030405060 Г) 980780680

24. Какое из нижеперечисленных чисел самое маленькое:

А) 576675765 Б) 574475754 В) 578875785 Г) 557755575

25.На сколько отличается число 30 000 +8 000 +600 +40 +5

от числа 20 000 +7 000 +500 +30 +4?

А) на 11 111 Б) на 1 В) на 11 Г) на 1 111

26. Выполните действие и отметьте правильный результат

124 × 20 +65:

А) 2 550 Б) 2 545 В) 2 445 Г) 2540

27. Выпишите все двузначные числа, которые можно

записать помощью цифр 1, 0, 3, используя каждую цифру

только один раз. Найдите сумму этих чисел.

А) 40 Б) 53 В) 84 Г) 74

28. Скорость автомобиля 80 км/ч, а скорость пешехода

5 км/ч. Во сколько раз скорость автомобиля больше

скорости пешехода?

А) в 12 раз Б) в 24 раза В) в 16 раз Г) в 20 раз

29. Из цифр 2, 4, 6 составляются всевозможные

трёхзначные числа. Найдите разность самого большого

и самого маленького из них.

(каждая цифра используется только один раз):

А) 216 Б) 396 В) 378 Г) 180

30. Из четырёх цифр 1, 2, 3, 4 составьте два

различных двузначных числа (каждая цифра используется

один раз), произведение которых будет наибольшим.

Найдите это произведение.

А) 1300 Б) 1312 В) 903 Г) 1462

31. Из четырёх цифр 1, 2, 4, 5 составьте два

различных двузначных числа (каждая цифра используется

один раз), произведение которых будет наименьшим.

Найдите это произведение.

А) 252 Б) 168 В) 288 Г) 350

32.Укажите такой порядок расположения чисел, чтобы

каждое последующее число было меньше предыдущего

(порядок убывания).

1) 5525 2) 5670 3) 5340 4) 5420

А) 1, 2, 3, 4 Б) 3, 4, 1, 2 В) 2, 1, 3, 4 Г) 2, 1, 4, 3

Тест 2

1.Укажите такой порядок расположения чисел,

чтобы каждое последующее число было больше

предыдущего (порядок возрастания).

1) 2151 2) 2178 3) 2193 4) 2132

А) 1, 2, 3, 4 Б) 4, 1, 2, 3 В) 4, 3, 2, 1 Г) 1, 4, 2, 3

2. Дано 5 чисел: 814, 129, 1235, 756, 307. Наибольшее

значение суммы двух из этих чисел равно:

А) 2049 Б) 1991 В) 2149 Г) 2089

3. Укажите цифры, которые можно поставить вместо звёздочек

так, чтобы были верны неравенства: *428> 4*39> 43*1> *502.

А) (4, 4, 3, 2) Б) (3, 5, 1, 3) В) (5, 9, 2, 6) Г) (5, 5, 9, 3)

4. В четырёх коробках лежат красные, синие и

зелёные карандаши.

В какой из коробок больше всего карандашей?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

5. Исходя из предыдущего условия задачи. В какой из

коробок больше синих и зелёных карандашей?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

6. Исходя из предыдущего условия задачи. В какой из

коробок меньше всего красных и синих карандашей?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

7. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству — 4 <x <8?

А) 12 Б) 10 В) 9 Г) 11

8. Укажите наименьшее число:

А) — 150 Б) -149 В) -151 Г) 0

9. Сколько существует целых чисел, которые

больше -10 и меньше 3?

А) 11 Б) 12 В) 10 Г) 9

10. Укажите наибольшее число:

А) 0 Б) -25 В) 12 Г) -45

11. Выполните действие: -30 +65:

А) 35 Б) -35 В) -95 Г) 95

12. Выполните действие: -30 — 65:

А) 35 Б) -35 В) -95 Г) 95

13.Какое число получается при сумме:

600 000 000 000 +40 000 000 +500 000 +10 000 +6?

А) 6 004 005 106 Б) 6 405 106 В) 6 040 510 006

Г) 600 040 510 006

14.В каком неравенстве знак поставлен неверно?

А) 72 035 122 <72 035 289 Б) 89 012 365 <89 013 365

В) 33 333 142> 33 333 049 Г) 54 235 189> 54 236 189

15. Какое число следует за числом 621 679 899?

А) 621 679 900 Б) 621 680 900 В) 621 679 000 Г) 621 680 899

16. Что отсутствует в числе 231 000 869 192?

А) разряд сотен тысяч Б) класс тысяч В) класс миллионов

Г) разряд сотен

17. Что показывает цифра 3 в числе 21 388 102?

А) единицы миллионов Б) сотни тысяч В) тысячи Г) десятки тысяч

18. В каком числе отсутствует разряд сотен?

А) 12 135 802 Б) 456 650 987 В) 23 156 089 Г) 326 205 122

19. Значение какого выражения самое большое?

А) 250:5 — (2 +10) Б) (250:5 — 2) +10 В) 250:5 — 2 +10

Г) 250: (5 — 2) +10

20. В каком выражении первым действием будет сложение?

А) 32:2 +3 × 7 Б) 32: (2 +3) × 7 В) (32:2 +3) × 7 Г) 32: (2 +3 × 7)

21. В каком числе 55 десятков?

А) 550 Б) 505 В) 515 Г) 55

22. В каком числе отсутствует разряд десятков?

А) 10 Б) 101 В) 110 Г) 11

23. Укажите число, в котором 5 единиц первого

разряда и 7 единиц третьего:

А) 507 Б) 705 В) 570 Г) 750

24. Запишите число пятнадцать тысяч сто шестьдесят два:

А) 150 162 Б) 15 000 162 В) 15 162 000 Г) 15 162

25. Найдите разность чисел 45 132 и 232:

А) 44 999 Б) 44 900 В) 44 990 Г) 44 890

26. Найдите произведение чисел 105 и 215:

А) 225 750 Б) 225 755 В) 275 550 Г) 22 575

27. Дано выражение 232 + (668 — 15 × 5):8.

Какое действие выполняется третьим?

А) умножение Б) деление В) сложение Г) вычитание

28. Найдите частное чисел 3857 и 19:

А) 3838 Б) 3876 В) 73 283 Г) 203

29. На сколько произведение чисел 203 и 69 больше

частного чисел 45 034 и 89?

А) на 234 Б) на 18 011 В) на 1000 Г) на 13 501

30. Запишите выражение: « частное суммы чисел

a и b и произведения чисел 7 и c»:

А) a + b:7×c Б) (a + b): (7×c) В) (a + b):7×c Г) a + (b:7) ×c

31. Укажите пару противоположных чисел:

А) -3 и 3 Б) 0 и -3 В) 0 и 3 Г) -5 и 3

32. Какой из данных примеров решён верно?

А) -2 +7 = -9 Б) -2 +7 = 5 В) -2 +7 =9 Г) -2 +7 = -5

Задачи для самостоятельного решения

1. Запишите цифрами числа:

А) два миллиона пять.

Б) триста двадцать шесть миллионов сто пять тысяч двенадцать.

В) сто два миллиона тридцать две тысячи сто два.

Г) четырнадцать миллионов одна тысяча два.

Д) семнадцать миллионов шестьдесят тысяч сорок три.

Е) один миллиард двадцать шесть миллионов пятнадцать тысяч десять.

2. Найдите значение выражения:

А) 5040: (28×4) — (888+219):27

Б) 29×104:16+ (5059—988):23

В) (8640:8+5250:5—130) ×3

Г) (9810:9—7560:7+290) -4

3. В городской библиотеке имеется 1 256 684 экземпляров книг, что на 39 684 экземпляра больше, чем в университетской библиотеке, но на 159 200 меньше, чем в областной библиотеке. Сколько экземпляров книг имеется в трёх библиотеках?

4. В гостинице 209 двуместных номера, 162 трёхместных и 89 четырёхместных. Сколько нужно заказать автобусов для экскурсии, чтобы вывезти всех постояльцев отеля, если в каждом автобусе 45 мест.

5. Груша и апельсин вместе весят 285 гр., апельсин и лимон 250 гр. Определите массу груши, лимона и апельсина, если лимон и груша вместе весят 215гр. (решите задачу арифметическим методом)

6. Из двух сёл одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Их скорости 9 км/ч и 12 км/ч. Через два часа они встретились. Чему равно расстояние между сёлами?

7. От одной пристани до другой можно добраться на теплоходе со скоростью 12 км/ч или моторной лодке со скоростью 13км/ч. Моторная лодка проходит этот путь по течению реки за 4ч., а теплоход против течения реки за 6ч. Определите скорость течения? (решите задачу арифметическим методом).

8. Сравните числа:

А) 3617009 и 3616356

Б) 18532129 и 18532130

В) 198567333 и 198675333

Г) 13325325325 и 1325325325

9. Запишите пятизначное число, которое:

А) меньше 10016 и оканчивается цифрой 7.

Б) больше 9987 и оканчивается цифрой 6.

Тема 2

Арифметические законы, простые и составные числа, признаки делимости, разложение на простые множители, наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель

Существует 5 математических законов, справедливых для любых чисел.

1. Переместительный закон сложения a + b = b + a, например 5 +4 = 4 +5 = 9

Выражаясь простым языком, можно сказать: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

2. Переместительный закон умножения a × b = b × a, например 6 × 2 = 2 × 6 = 12

Проще говоря, от перемены мест множителей произведение не меняется.

3. Сочетательный закон сложения (a + b) + c = a + (b + c), например (7 +5) +3 = 7 + (5 +3) = 15. Или, значение суммы не зависит от того как сгруппированы слагаемые.

4. Сочетательный закон умножения (а × b) × c = a × (b × c), например (3×2) ×5=3× (2×5) =30. Или, значение произведения не зависит от того как сгруппированы множители.

5. Распределительный закон умножения относительно сложения

(a + b) × c = a × c + b × c, например (5 +4) × 2 = 5 × 2 +4 × 2 = 18. То есть, чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения.

— Позвольте, — тут же заметит вдумчивый читатель. — Вы в прошлой теме утверждали, что в арифметике скобки раскрывать нельзя, а тут распределительный закон говорит о противоположном.

И тут же приведёте мне пример: 10:2 (4—2). А я рядом с вашим примером напишу такой: 10: [2 (4—2)]. Скажите, между этими примерами есть разница? Оказывается разница есть в порядке действий и соответственно в получаемом результате. Если в первом примере применить распределительный закон, то мы нарушим порядок действий. А вот во втором примере порядок действий не нарушается и мы можем применить распределительный закон. Действительно, результат не изменится, если сделать сначала действие в круглых скобках и результат умножить на 2, или умножить 2 на каждое из слагаемых в скобке, а потом вычесть из первого произведения второе. Как видите, никакого противоречия нет. Добавив квадратные скобки, мы меняем порядок действий и соответственно получаемый результат.

Нетрудно заметить, что арифметические законы позволяют упростить вычисления.

Например:

4 × 93 × 25 = 93 × (25 × 4) = 93 × 100 = 9300. Применён сочетательный закон умножения.

932 +869 +68 = 869 + (932 +68) = 869 +1000 = 1869. Применён сочетательный закон сложения.

158 × 6 +242 × 6 = (158 +242) × 6 = 400 × 6 = 2400. Применён распределительный закон умножения относительно сложения.

Натуральные числа больше единицы называются простыми, если они делятся только на единицу и на самого себя.

Натуральные числа больше единицы называются составными, если они делятся и на другие числа. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным.

Например, числа 5, 7, 19, 31, 61, 89 простые. Они не делятся нацело на другие числа.

А вот число 21 и 81 составные. 21 делится не только на единицу и самого себя, но и на цифры 3 и 7. 81 делится на цифры 3, 9, 27.

Числа 1, 3, 7, 21 делители числа 21, числа 1, 3, 9, 27, 81 делители числа 81. Число 21 кратное для чисел 1, 3, 7, 21, т.к. делиться на эти числа без остатка.

Интересная задача.

Нумерация домов на улице от 1 до 11. Каких чисел больше, простых или составных в нумерации домов?

Так просто. Однако многие забывают, что единица не относится ни к простым, ни к составным числам, поэтому дают неправильный ответ. Отбрасываем единицу и начинаем считать: 2, 3, 5, 7, 11 — простые, 4, 6, 8, 9, 10 — составные. Простых и составных чисел оказалось поровну, хотя количество домов на нечётной стороне больше. Можете это проверить.

Часто задают вопрос, каких чисел в математике больше: простых или составных. Вы сами можете ответить на этот вопрос. Все чётные числа — составные, т.к они делятся на 2. А из нечётных чисел не все простые. Даже в первой десятке есть число 9, которое не является простым. В приведённых выше примерах нечётные числа 21 и 81 не являются простыми. Поэтому, простых чисел не так много. В первой тысяче их 168.

Переходим к формулировке основной теоремы арифметики.

Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел. Такое представление называется разложением числа на простые множители.

Рассмотрим пример разложения числа на простые множители

Таким образом, 1421 = 7×7×29 = 7² ×29.

Как научиться правильно делать разложение чисел на простые множители? Обычно такое разложение записывают столбиком в две колонки. В левую колонку записывается исходное число.

1 шаг. Берём самое маленькое простое число 2 и проверяем делится ли исходное число на 2.

2 шаг. Если делится, то в правую колонку выписываем 2, далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую колонку под исходным числом

3 шаг. Если же число не делится на 2, то берём следующее простое число 3. И так далее.

Повторяем эти шаги при работе с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано простое число.

Чтобы лучше понять этот алгоритм разберём несколько примеров.

Пример 1: Разложить число 298 на простые множители.

Берём число 2 и проверяем делится ли 298 на 2. Делится. В остатке получаем 149. Записываем число 2 в правую колонку, а число 149 в левую. Число 149 простое. Поэтому, 298 = 2×149. Разложение закончено.

Пример 2: Разложить число 1962 на простые множители.

Аналогично, число 1962 делится на 2.

Остаток 981 не делится на 2, но делится на 3. Следующее полученное число 327 тоже делится на 3. Разделив 327 на 3 получим простое число 109.

Таким образом, 1962 = 2×3²×109.

Пример 3: Разложить число 2940 на простые множители.

Первый простой множитель 2. 2940: 2 = 1470. Второй простой множитель тоже 2. 1470: 2 = 735. Третий простой множитель 3. 735: 3 = 245. Четвёртый простой множитель 5. 245: 5 = 49. Пятый простой множитель 7. 49: 7 = 7. Число 7 простое. Разложение закончено.

Таким образом, 2940 = 2²×3×5×7²

Как видите разложение чисел на простые множители не представляет трудности, т.к. происходит по заранее заданному алгоритму. Кстати, множество задач, уравнений и неравенств по математике решается с помощью алгоритмов. Достаточно знать этот алгоритм решения и можно научиться решать практически любые задачи. Об алгоритмах в решении задач мы будем постоянно говорить в дальнейшем. А сейчас продолжим разговор об арифметике.

Чтобы упростить процесс разложения числа на простые множители необходимо знать признаки делимости.

Признаки делимости несложные и их легко запомнить. Гораздо важнее правило делимости суммы. Рассмотрим это правило на примерах.

Например, числа 8 и 24 делятся на 4. Их сумма 8+24 = 32 тоже делится на 4. Аналогично, числа 49 и 42 делятся на 7, их сумма 49+42 = 91 тоже делится на 7. 91: 7 = 13.

Последний вопрос, который мы рассмотрим в данной теме — это наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Многие путают эти понятия из-за того, что аббревиатуры их схожи (НОД и НОК), а сами понятия делителя и кратного весьма расплывчаты, да ещё к этому добавляется полная идентичность нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Вспомните, в этой теме мы уже упоминали о кратном и делителе. Говорили, что числа 1, 3, 7, 21 являются делителями числа 21, а само число 21 является кратным для чисел 1, 3, 7, 21 так как делится на эти числа без остатка. А теперь представьте мы имеем несколько чисел и должны выбрать наибольшее число из тех, на которое данные числа делятся без остатка. Это это и есть наибольший общий делитель нескольких чисел.

НОД нескольких чисел называется наибольшее число, на которое делятся данные числа без остатка. Это уже математическая формулировка. Отыскание наибольшего общего делителя процесс несложный и происходит по определённому алгоритму.

1. Разлагаем числа на простые множители.

2. Выписываем общие простые множители с наименьшим показателем степени.

3. НОД равен произведению полученных чисел.

Рассмотрим один единственный пример и поймём, что это не так сложно.

Пример: Найти НОД чисел 120, 180 и 240.

Согласно первому пункту разлагаем все числа на простые множители.

Выбираем все общие простые множители. Это 2², 3 и 5.Таким образом,

НОД (120,180,240) = 2²×3×5 = 60.

Следует запомнить, что числовое значение НОД нескольких чисел меньше, чем сами числа или, в крайнем случае, равно меньшему из них. Например, НОД (127,254,381) = 127. Можете легко это проверить. Возможен вариант, когда простых множителей, общих для всех данных чисел, не будет вообще. Тогда НОД будет равен 1. Два числа НОД которых равен единице, называются взаимно простыми. Например, 25 и 88 взаимно простые числа. Проверьте это.

Наименьшим общим кратным нескольких чисел (НОК) называется наименьшее число, которое делится без остатка на данные числа. Например НОК чисел 15, 6, 10 есть число 30. Это наименьшее число из всех, которое делится на 15, 6 и 10 без остатка. Алгоритм нахождения НОК нескольких чисел похож нахождение НОД, но имеет одно существенное различие. Обратите на это внимание.

1. Разлагаем числа на простые множители.

2. Выписываем все простые множители с наибольшим показателем степени (главное отличие от нахождения НОД).

3. НОК равен произведению полученных чисел.

Рассмотрим пример. Найти НОК чисел 240, 360, 1080.

Разлагаем числа на простые множители.

240 = 2⁴×3×5, 360 =2 ³×3²×5 1080 = 2³×3³×5

Выбираем числа с наибольшим показателем степени. Это 2⁴, 3³ и 5.

Таким образом, НОК (240, 360, 1080) = 2⁴×3³×5 = 16×27×5 = 2160.

Числовое значение НОК нескольких чисел больше, чем сами числа или, в лучшем случае, равно большему из них. Например, НОК (36,180,900) = 900. Проверьте это.

В отличие от НОД, НОК всегда определён. Даже, если все числа простые, то для нахождения НОК их достаточно перемножить.

Тестовые задания к теме 2

Тест 1

1. Определить математический закон,

выполняющийся на множестве натуральных чисел:

А) a/b = b/a Б) a×b = b×a В) (a:b):c =a: (b:c) Г) a× (b+c) = (a×b) +c

2. Определить математический закон,

выполняющийся на множестве натуральных чисел:

А) a-b = b-a Б) (a+b) ×c = (a+c) ×b В) (a+b) ×c = a×c+b×c

Г) (a+b) -c = a+ (b-c)

3. Найти частный случай математического закона

a+b = b+a, определённого на множестве натуральных чисел:

А) 10+ (-7) = 7—10 Б) 10+5 = 5+10 В) -7+5 = 5+ (-7) Г) 2+2 = 2×2

4. Найти частный случай математического закона

(a+b) +c = a+ (b+c), определённого на множестве

натуральных чисел:

А) (2+3) +15 = 2+ (3+15) Б) (4+7) + (-1) = 4+ (7—1)

В) (-7+5) +2 = -7+ (5+2) Г) (3+0) +2 = 3+ (0+2)

5. Найти частный случай математического закона

a×b = b×a, определённого на множестве натуральных чисел:

А) 5×1/2 = 1/2×5 Б) -5× (-2) = -2× (-5) В) 0×3 = 3×0 Г) 4×6 = 6×4

6. Найти частный случай математического закона

(a×b) ×c = a× (b×c), определённого на множестве

натуральных чисел:

А) (-2× (-3)) ×5 = -2× (-3×5) Б) (2×3) ×4 = 2× (3×4)

В) (5×2) ×4 = 5×4+2×4 Г) (1/2×0) ×3 = 1/2× (0×3)

7. Найти частный случай математического закона

(a+b) ×c = a×c+b×c, определённого на множестве

натуральных чисел:

А) (3+4):1/2 = 3×2+4×2 Б) (5+2) ×3 = 5×2+2×3

В) (2+3) ×5 = 2×5+3×5 Г) (-7+3) ×2 = -7×2+3×2

8. Для каких троек чисел выполняется признак делимости

суммы на множестве натуральных чисел?

А) 81,27,3 Б) 7,10,17 В) 42,43,5 Г) 3,6,8

9. Для того, чтобы число делилось на 12, необходимо,

чтобы число делилось одновременно:

А) на 3 и 8 Б) на 8 и 4 в) на 6 и 8 Г) на 3 и 4

10. Число делится на 2, если:

А) оно оканчивается на 0 Б) сумма всех цифр делится на 2

В) оканчивается чётной цифрой

Г) две последние цифры образуют число, делящееся на 4

11. Число делится на 3, если:

А) сумма цифр в записи числа делится на 3

Б) оканчивается нечётной цифрой

В) две последние цифры образуют число, делящееся на 3

Г) оканчивается на 3

12. Число делится на 4, если:

А) оканчивается чётной цифрой

Б) две последние цифры образуют число, делящееся на 4

В) сумма цифр в записи числа делится на 4

Г) оканчиваются на 0

13.Число делится на 5, если:

А) оканчивается нечётной цифрой

Б) сумма цифр в записи числа делится на 5

В) две последние цифры образую число, делящееся на 5

Г) оканчивается на 5 или 0

14. Число делится на 6, если:

А) оканчивается чётной цифрой Б) оканчивается на 6

В) делится одновременно на 2 и на 3

Г) сумма цифр в записи числа делится на 6

15. Число делится на 8, если:

А) две последние цифры образуют число, делящееся на 8

Б) три последние цифры образуют число, делящееся на 8

В) оканчивается чётной цифрой

Г) сумма цифр в записи числа делится на 8

16. Число делится на 9, если:

А) сумма цифр в записи числа делится на 3

Б) три последние цифры образуют число, делящееся на 9

В) оканчивается нечётной цифрой

Г) сумма цифр в записи числа делится на 9

17. Число делится на 10, если:

А) оканчивается на 0 Б) оканчивается чётной цифрой

В) три последние цифры образуют число, делящееся на 10

Г) делится одновременно на 2 и на 5

18. Число делится на 11, если:

А) оканчивается нечётной цифрой

Б) три последние цифры образуют число, делящееся на 11

В) сумма цифр на нечётных местах равна сумме цифр

на чётных или их разность делится на 11

Г) сумма цифр в записи числа делится на 11

19. Число делится на 25, если:

А) одновременно делится на 5 и на 10

Б) оканчивается на 00, 25, 50, 75

В) оканчивается на 0 и 5 Г) нет правильного ответа

20. Число делится на 100, если:

А) оканчивается на 00 Б) одновременно делится на 5 и на 10

В) оканчивается на 0,00,000 Г) нет правильного ответа

21. Признак делимости суммы:

А) если число к делится на сумму чисел a и b, то к делится

как на a, так и на b

Б) если каждое из слагаемых x и y делится на

некоторое число c, то и сумма x+y делится на это число c

В) если сумма чисел a и b делится на число k,

то и каждое из чисел делится на k

Г) если каждое из слагаемых x и y делится

на некоторое число c, то число с делится на сумму x+y

22. Основная теорема арифметики:

А) любое простое число можно представить в виде суммы

двух простых чисел

Б) любое составное натуральное число можно

представить единственным образом в виде произведения

простых чисел

В) любое составное число представимо единственным

образом в виде суммы простых чисел

Г) любое простое число единственно представимо

в виде произведения двух простых чисел

23. Разложите на простые множители число 126:

А) 2×33×7 Б) 2×32×7 В) 22×3×11 Г) 2×3×7×11

24. Разложите на простые множители число 270:

А) 2×33×5 Б) 33×52×2 В) 27×10 Г) 22×33×5

25. Разложите на простые множители число 2310:

А) 23×2×5 Б) 2×3×5×7×11 В) 10×11×21 Г) 23×3×13

26. Разложите на простые множители число 300:

А) 5×6×100 Б) 22×32×5 В) 22×3×52 Г) 3×2×5

27. Разложите на простые множители число 315:

А) 32×5×7 Б) 9×35 В) 32×52×7 Г) 3×1×5

28 Указать наименьшее из следующих натуральных

простых чисел:

А) 2 Б) 0 В) 1 Г) 3

29. Указать наименьшее из следующих натуральных

составных чисел:

А) 4 Б) 2 В) 6 Г) 3

30. Указать наименьшее из следующих натуральных

однозначных чисел:

А) 0 Б) 2 В) 1 Г) 3

31. Указать наименьшее из следующих натуральных

двузначных чисел:

А) 1 Б) 11 В) 10 Г) 0

32. Указать наименьшее из следующих натуральных

чётных чисел:

А) 2 Б) 6 В) 0 Г) 4

Тест 2

1. Указать наименьшее из следующих натуральных

нечётных чисел:

А) 1 Б) 2 В) 0 Г) 3

2. Указать наибольшее из следующих натуральных

простых чисел:

А) 997 Б) 97 В) 91 Г) 991

3. Указать наибольшее из следующих натуральных

составных чисел:

А) 100 Б) 99 В) 35 Г) 131

4. Указать наибольшее из следующих натуральных

однозначных чисел:

А) 7 Б) 8 В) 9 Г) 10

5. Указать наибольшее из следующих натуральных

двузначных чисел:

А) 99 Б) 97 В) 100 Г) 98

6. Какое из данных утверждений не верно?

А) 3 делитель 26 Б) 37 делитель 814 В) 23 делитель 943

Г) 67 делитель 3350

7. Какое из данных утверждений верно?

А) 33 кратно 11 Б) 565 кратно 15 В) 17 кратно 0 Г) 45 кратно 2

8. Какое из данных выражений принимает только

нечётные значения, если a и b-нечётные натуральные

числа и a> b?

А) a+b Б) a-b В) a×b Г) 2a-2b

9. Какое из данных выражений принимает только

чётные значения, если a и b-нечётные натуральные числа и a> b?

А) a×b Б) b+2 В) a+2b Г) a-b

10. Какое из данных выражений принимает только

нечётные значения, если a-чётное и b-нечётное

натуральные числа и a> 2b?

А) a+b Б) 3a-2b В) a×b Г) 2a-2b

11. Какое из данных выражений принимает только

нечётные значения, если a и b-чётные натуральные числа и a> b?

А) 3a×b Б) 2a+b+1 В) a+3b Г) 3a-b

12. Какая из данных сумм кратна 5?

А) 4523+7415 Б) 678+991+31 В) 230+179 Г) 128+123+56

13. Какая из данных сумм не кратна 5?

А) 7314+454 Б) 45232+74158 В) 378+981+31 Г) 361+125+744

14. Какая из данных сумм кратна 10?

А) 7231+231 Б) 451+458 В) 2568+459+111 Г) 221+346+123

15. Какая из данных сумм не кратна 10?

А) 1526+344 Б) 527+343+81 В) 380+120 Г) 623+124+353

16. Какое из данных чисел не кратно 3:

А) 1706 Б) 131421 В) 18279 Г) 12363

17. Какое из данных чисел не кратно 9:

А) 4347 Б) 123030 В) 3591954 Г) 3453

18. Найдите остаток от деления числа 78567 на 5:

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

19. Найдите остаток от деления числа 87656 на 9:

А) 3 Б) 5 В) 1 Г) 2

20. У какой из предложенных пар чисел НОД равен 4:

А) 24 и 20 Б) 24 и 30 В) 24 и 32 Г) 18 и 32

21. У какой из предложенных пар чисел НОК равен 60:

А) 30 и 2 Б) 18 и 15 В) 4 и 15 Г) 10 и 6

22. Сколько существует двузначных чисел

кратных 12, но не кратных 24?

А) 5 Б) 3 В) 4 Г) 6

23. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5:

А) 8016 Б) 195 В) 4050 Г) 1113

24. Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и 5:

А) 1113 Б) 914 В) 3040 Г) 7035

25. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3:

А) 2894 Б) 405 В) 2802 Г) 785

26. Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 5*62,

чтобы полученное число делилось на 9?

А) 0 Б) 2 В) 9 Г) 5

27. Назовите число, кратное 25,которое

удовлетворяет неравенству 530 <x <560:

А) 545 Б) 555 В) 550 Г) 540

28. Укажите произведение, которое является разложением

числа на простые множители:

А) 2×8×11 Б) 16×3×11 В) 2×2×2×3×11 Г) 2×3×4×9

29. Укажите наибольший простой делитель числа 5460:

А) 21 Б) 17 В) 13 Г) 15

30. Найдите НОД чисел 585 и 525:

А) 5 Б) 3 В) 15 Г) 25

31. Найдите НОК чисел 50, 60 и 90:

А) 1800 Б) 900 В) 180 Г) 9000

32. Найдите НОД чисел 280, 140 и 350:

А) 35 Б) 70 В) 10 Г) 140

Задачи для самостоятельного решения

1. Пользуясь признаками делимости определить

на какие числа делятся числа:

А) 4004 Б) 15835 В) 10203 Г) 225225 Д) 174022

Е) 88776 Ж) 245322 З) 36463 И) 178000

2. Разложить вышеперечисленные числа на простые множители.

3. Найти НОД и НОК следующих чисел:

А) 252,441,1080 Б) 234,1080,8100 В) 1421,490,1237600

Г) 256128,820,5760

Тема 3

Простые дроби. Сокращение дробей. Сравнение дробей. Приведение к общему знаменателю. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Действия с нулем. Целое и часть

Теперь мы переходим к более важным понятиям в арифметике. Дробными числами мы будем пользоваться в дальнейшем. Поэтому, для осмысления этой темы вам понадобится немного больше времени, сил и концентрации. Но результат не заставит себя долго ждать.

Простой дробью называется часть единицы или несколько равных частей единицы. Наглядно это можно пояснить с помощью круга. Вы ждёте в гости друзей и приготовили круглый пирог. Гостей будет 8 и вы заранее разделили своё чудо кулинарной мысли на 8 равных частей (чтобы никого не обидеть). Но вот незадача. Двое ваших друзей не пришли, а ещё трое, оказывается, не едят сладкого. Поэтому было съедено всего три кусочка. Напрашивается вопрос, какая часть пирога была съедена? Число восемь называется знаменателем дроби. Это именно то количество частей на которые разделена наша единица (пирог). На рисунке заштрихованы три части. Число 3-числитель дроби. Это количество взятых частей (долей). Таким образом мы получили дробное число, где 3- числитель дроби записан сверху, а 8-знаменатель дроби снизу.

Именно такой записью дробных чисел мы будем пользоваться в дальнейшем, она удобна для преобразований и вычислений. Если мы разделим единицу на 12 частей и возьмём 5 из них, то получим дробь.

Аналогично, — единица поделена на 355 частей, из которых взяты всего 3 (говорят, три триста пятьдесят пятых).

Мы привели примеры правильных дробей, у которых числитель меньше знаменателя.

Есть дроби неправильные, у них числитель больше знаменателя или равен ему:

А также смешанные дроби, которые имеют целую и дробные части

Любую неправильную дробь можно превратить в смешанную и наоборот. Делается это очень просто.

Например, превратим неправильную дробь

Теперь обратное действие. Превращение смешанной дроби в неправильную.

Например, превратим смешанную дробь

в неправильную. Умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем к полученному результату числитель. 3×9+5 = 32. Полученное число является числителем новой дроби. Знаменатель остаётся без изменений. Таким образом,

Чтобы научиться преобразовывать действия с дробями нам нужно знать правила сокращения и расширения дроби, а также научиться их приводить к общему знаменателю. Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже число. В первом случае говорим о расширении дроби, во втором случае о сокращении.

Примеры.

Сравнение дробей.

1.У дробей одинаковые числители. Больше дробь та, у которой знаменатель меньше.

Действительно, кусок пирога, разделённый на три части больше, чем кусок того же пирога, но разделённый на четыре части.

2. У дробей одинаковые знаменатели. Больше дробь та, у которой числитель больше.

Здесь ещё понятнее, три одинаковых куска пирога больше, чем один или два.

3.Если числитель и знаменатель двух дробей различны, то необходимо преобразовать дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такая операция называется приведением дробей к общему знаменателю. Она может осуществляться двумя способами. Каждый может выбрать способ, который считает более удобным. Рассмотрим пример.

Пример. Сравним дроби

1 способ. Расширяем первую дробь на 12, а вторую на 8, имеем

Следовательно,

2 способ. Находим НОК чисел 8 и 12. НОК (8,12) = 24

Расширяем каждую дробь на частное, получаемое от деления НОК на знаменатель взятой дроби. Для первой дроби

Для второй дроби

Так же, как и при первом способе

Несмотря, на кажущуюся простоту первого способа, второй способ, можно так сказать, более профессиональный. При первом способе часто расчёты становятся трудоёмкими, если знаменатели дробей большие числа. Однако, часто для нахождения НОК двух чисел, их необходимо перемножить. Тогда первый способ является единственно применимым.

Теперь плавно переходим к основным арифметическим действиям над дробями. Рекомендуется освоить этот пункт полностью, чтобы, как говорят, от зубов отскакивало.

Сложение и вычитание дробей.

Рассмотрим сначала частные случаи.

А. Дроби с одинаковыми знаменателями.

Здесь все просто. Знаменатель остаётся без изменений, а числители прибавляются. Обратите внимание: в конце расчёта мы неправильную дробь перевели в смешанную (рекомендуется так делать).

Аналогично с вычитанием

Б. Знаменатели дробей взаимно простые числа.

Общий знаменатель получается умножением исходных знаменателей. Затем находятся дополнительные множители. Для первой дроби 2, для второй 3. Новый числитель — это сумма произведений числителей на соответствующие дополнительные множители.

Аналогично, для вычитания

В. Один знаменатель кратен другому.

За общий знаменатель принимается больший, который кратен всем остальным. Числитель получается суммой произведения первого числителя на дополнительный множитель и второго числителя. Обратите внимание, в конце вычисления мы сократили искомую дробь (делать обязательно).

Автор рекомендует и другой способ.

Разделим один знаменатель на другой. 6:2=3. Расширим первую дробь на 3 и получим две дроби с одинаковым знаменателем.

Аналогично, для вычитания

Для остальных случаев сложения и вычитания дробей их нужно привести к общему знаменателю. Рассмотрим несколько примеров.

И напоследок рассмотрим сложение и вычитание смешанных дробей.

Чтобы сложить или вычесть две смешанные дроби нужно сложить или вычесть отдельно целые и отдельно дробные части.

Посмотрите, чтобы избежать в конце написания неправильной дроби мы сразу же перевели её в смешанную.

Особое внимание обратите на вычитание смешанных дробей.

Независимо от того, делается ли сложение или вычитание смешанных дробей, полученные результаты для целой и дробной части складываются.

При вычитании смешанных дробей может возникнуть случай, когда дробная часть вычитаемого может оказаться больше дробной части уменьшаемого. Тогда из целой части занимаем единицу, а дробную часть превращаем в неправильную дробь. Как это действует рассмотрим на примере.

Здесь мы сразу перевели первую дробь в неправильную.

Ещё один пример вычитания.

Здесь целое число 13 заменено дробным, чтобы сделать одинаковыми знаменатели.

Существует ещё один способ сложения и вычитания смешанных дробей, но он не упоминается в учебниках математики ввиду того, что при этом способе приходится оперировать большими числами. Но этот способ удобен тем, что он легко запоминается. Суть его в том, что все смешанные дроби переводятся в неправильные. А потом уже по стандартной схеме находится общий знаменатель, дополнительные множители и так далее. Давайте рассмотрим один пример.

Способ не очень удобный, так как в конце нужно перевести неправильную дробь в смешанную. Но как альтернатива, такой способ тоже имеет право на жизнь.

Умножение и деление дробей.

Здесь всё намного проще. При умножении дроби на дробь их числители и знаменатели перемножаются, например:

Обратите внимание, ещё до перемножения можно сокращать любой множитель числителя с любым множителем знаменателя на их общий делитель. В данном случае, 3 и 9 имеют общий делитель 3, на который мы и сократили.

Если среди сомножителей есть смешанные дроби, то их предварительно переводят в неправильную дробь.

Пример.