Бесплатный фрагмент - Путешествие в квантовую механику

1. Введение

Квантовая механика — фундаментальная теория, лежащая в основе нашего понимания микромира. С момента своего возникновения в начале XX века она претерпела бурное развитие, оказав влияние не только на физику, но и на химию, информационные технологии, философию и многие другие области знания. Однако, несмотря на свою математическую строгость и экспериментальную подтверждённость, квантовая механика продолжает оставаться вызовом для интуитивного восприятия, а её интерпретации порождают глубокие вопросы о природе реальности.

Цель данной книги — предложить читателю систематическое и доступное «путешествие» в мир квантовой механики, от её базовых принципов до современных приложений. Мы начнём с разбора фундаментальных концепций, таких как корпускулярно-волновой дуализм, и шаг за шагом выведем уравнение Шрёдингера — основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Далее мы сосредоточимся на методах его решения, как аналитических, так и численных, и исследуем, как эти решения описывают поведение частиц в различных потенциалах.

Особое внимание в книге уделяется связи математического аппарата с физической интерпретацией. Мы рассмотрим такие ключевые явления, как квантовая суперпозиция, коллапс волновой функции и квантовая запутанность, проиллюстрировав их на известных мысленных экспериментах (кот Шрёдингера) и реальных опытах (двухщелевой эксперимент).

Отдельные разделы посвящены приложениям квантовой механики в химии, где мы обсудим строение атомов и молекул, а также в информатике, где познакомимся с основами квантовых вычислений и алгоритмом Шора. В заключительных главах мы затронем вопросы, находящиеся на переднем крае науки: проблему квантовой гравитации, сверхпроводимость и перспективы создания квантовых компьютеров.

Книга написана для студентов старших курсов, аспирантов и всех, кто интересуется глубоким пониманием квантовой механики. Она предполагает знакомство читателя с основами математического анализа и линейной алгебры, но стремится минимизировать формальные сложности, делая акцент на ясности изложения и физической интуиции.

Мы надеемся, что это «путешествие» не только обогатит ваши знания, но и вдохновит на дальнейшее изучение одной из самых удивительных и красивых теорий в истории науки.

Приятного чтения!

2. О фундаментальных законах физики

Во второй главе этой работы рассматриваются две концепции, с помощью которых возможно сформулировать физические законы, предназначенные для описания окружающей действительности. Первый подход направлен на исследование дифференциальных соотношений, позволяющих обобщить широкий круг явлений и процессов. Второй подход связан с определением корреляций в заранее заданном наборе функций f1 (x1),…,fN`` (xN``). Эти функции могут быть получены путём экстраполяции частного аналитического решения того или иного дифференциального уравнения или найдены экспериментально.

Следует отметить, что достоверность любого численного метода, основанного на анализе экспериментальных данных, изначально может вызывать сомнения. Тем не менее, применяя эмпирический подход на практике, в большинстве случаев можно теоретически обосновать значительную часть наблюдаемых фундаментальных взаимодействий в линейных или линеаризованных физических системах. Далее мы начнём данный раздел с вывода одномерного нестационарного линейного уравнения Шрёдингера.

2.1 Вывод уравнения Шрёдингера

В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу об универсальном характере корпускулярно-волнового дуализма. Согласно этой гипотезе, всякая материальная частица обладает волновыми свойствами, причём равенства (2.1) — (2.4), связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы (например, фермиона), аналогичны соотношениям для электромагнитного излучения. А именно, полную энергию Ep` и импульс P`` элементарной частицы возможно выразить через частоту ν и длину волны де Бройля λ соответственно:

здесь h` — постоянная Планка; k`= 2π/λ; ħ=h`/ (2*π).

Сформулируем закон сохранения энергии для волны де Бройля. Полная энергия Ep` представляет собой сумму кинетической энергии Ek и потенциальной энергии Up (x,y,z):

Кроме того, частота ν связана с периодом T0 соотношением

а длину волны λ удобно выразить через скорость v (v= dx/dt):

где M — масса частицы (в дальнейшем — электрона, лептона или фермиона); Up (x) — потенциальная энергия; t — время; x — координата.

Введём операторы:

Используя представленные выше формулы, найдём тождество:

Применим эти операторы к волновой функции Ψ. Итого:

Полученное выражение (2.5) называется одномерным линейным нестационарным уравнением Шрёдингера.

2.2 Эмпирический метод

Изучая школьный курс физики, редко приходится ставить под сомнение исходные положения, на основе которых выводятся фундаментальные законы. В данном параграфе мы обобщим сведения о соотношении между некоторым физическим параметром F и набором математически независимых выражений f1 (x1),…,fN`` (xN``).

Если исходить из предположения о существовании корреляций между величиной F и функциями f1 (x1),…,fN`` (xN``), распределёнными вдоль соответствующих осей x1,…,xN``, то эти функции можно перемножать друг с другом только в случае их статистической независимости. Иными словами, изменение заранее известного аналитического решения fj (xj), полученного для некоторого дифференциального уравнения, происходит без взаимного влияния его значений fj (min (xj)),…,fj (max (xj)) на другие множители f1 (x1),…, fo (xo),…,fN`` (xN``), здесь o≠j.

Тогда величину F возможно выразить в виде алгебраического произведения

где N`` — число независимых функций f1 (x1),…,fN`` (xN``), а коэффициенты γ1,…,γN`` являются вещественными константами (+1 или -1), определяющими степень, в которую возводится каждая функция.

Характерным примером применения эмпирического подхода служит закон Кулона для силы электростатического взаимодействия Fe двух точечных зарядов. В этом случае можно выделить три независимых параметра:

f1 (x1) =|q1||q2| — произведение модулей зарядов;

f2 (x2) = |r1-r2| 2 — квадрат расстояния между зарядами;

K — постоянная, зависящая от выбора системы единиц.

Здесь r1 и r2 — радиус-векторы, проведённые из начала координат (0,0,0) к точкам расположения зарядов q1 и q2 соответственно.

Сила Fe прямо пропорциональна f1 (x1) (γ1=1) и обратно пропорциональна f2 (x2) (γ2=-1). Поэтому закон Кулона для двух зарядов q1, q2 принимает вид

В векторной форме это выражение записывается как

Если величины g3 (x3) и g3` (x3) оказываются взаимно зависимыми, то вместо произведения используется их сумма:

Функции g3 (x3) и g3` (x3) могут иметь более сложный вид, чем степенные выражения f1 (x1) γ1 и f2 (x2) γ2.

Заметим, что эмпирический метод не всегда позволяет описать тот или иной закон природы. В таких случаях учёные переходят к составлению дифференциальных уравнений — линейных или нелинейных. Решение нелинейных уравнений в частных производных часто представляет значительные вычислительные трудности, поскольку современные персональные компьютеры не всегда обладают достаточной производительностью для таких задач. В подобных ситуациях исследователи прибегают к использованию суперкомпьютеров.

В дальнейшем мы сосредоточимся на проблеме поиска общего аналитического решения дифференциальных уравнений с частными производными.

3. К вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений в частных производных

Методика, рассматриваемая в третьем разделе данного пособия, позволяет численно решить практически любое дифференциальное уравнение с частными производными и исследовать эволюцию искомой величины Q`` во времени t.

3.1 Интерполяция и ряды Фурье

Представим набор заданных значений F0,…,FRx/Δx—1 как

где Δx — размер каждого из интервалов, содержащих заранее известные величины F0,…,Fk,…,FRx/Δx—1; k — индекс интервала.

Ниже приведён график одного из вариантов кусочно-линейного отображения F (x):

Тригонометрический ряд (3.1), построенный для совокупности всех значений F (0,0,0),…,F (Rx, Ry, Rz), распределённых на отрезках (kΔx, (k+1) Δx), (jΔy, (j+1) Δy) и (χΔz, (χ+1) Δz), принимает вид

здесь x∈ [0,Rx]; y∈ [0,Ry]; z∈ [0,Rz]; Θ — индекс, идентифицирующий координатную ось xΘ; RΘ/ΔxΘ∈N.

3.2 Общее решение дифференциальных уравнений с частными производными

Обозначим через Q``∈C некоторое аналитическое решение произвольного дифференциального уравнения в частных производных. Выделим вещественную a*=Re (Q``) и мнимую b*=Im (Q``) части тождества Q``=a*+ib*. Для численного решения большинства дифференциальных уравнений с частными производными требуется найти закон изменения функции Q`` во времени t. Следует отметить, что излагаемая ниже теория не является единственной, однако она позволит лучше усвоить материал данной книги.

Многие параболические уравнения могут быть записаны в форме

Разложим искомое решение Q`` в ряд Фурье:

Вычислим частные производные ∂sdQ``/∂xΛsd,…, входящие в равенство (3.2):

где sd — порядок дифференцирования, а xΛ — координата.

Затем осуществим интерполяцию непрерывной функции D. В одномерном случае каждой точке на оси D ставится в соответствие отрезок (kΔxΘ, (k+1) ΔxΘ) на оси xΘ.

В трёхмерном комплексном пространстве справедливо соотношение

Найдём частную производную решения Q`` по времени t:

Формулу (3.4) удобно переписать в виде

При этом

Заметим, что в рамках одной итерации функции Q0 и Q`` тождественно равны: Q0=Q``.

Подставив выражения для Q1, D и Q`` в уравнение (3.5), получим

Очевидно, что на каждой новой временной итерации вместо неизвестного соотношения Q`` следует использовать найденную ранее функцию Q1, то есть Q`` = Q1.

Расчёт проводится до тех пор, пока не будет выполнено условие V`Δt=T*, где T* — временной интервал, определяющий границы эволюции отображения Q``; V` — общее число итераций; Δt — шаг по времени t. Отсюда

3.3 Решение дифференциальных уравнений в R3

В предыдущем параграфе была рассмотрена методика решения дифференциальных уравнений в частных производных, заданных в общем виде. Исследуем теперь вырожденный случай, потребовав, чтобы параболическое уравнение (3.2) было линейным и содержало лишь чётные порядки частных производных ∂2Q``/∂xΛ2, ∂sdQ``/∂xΛsd и тому подобных (при sd∈A, sd> 0). Тогда выражение (3.1) можно привести к форме

Преобразуем соотношение (3.3):

Разложим в ряд Фурье дифференцируемую функцию D:

Формулу (3.6) удобно записать как

Таким образом, любой коэффициент Фурье ∫0Rx∫0Ry∫0Rza1*ПΘ=13sin (πnΘxΘ/RΘ) dzdydx, соответствующий следующей временной итерации, возможно выразить через интегралы ∫0Rx∫0Ry∫0RzDПΘ=13sin (πnΘxΘ/RΘ) dzdydx и ∫0Rx∫0Ry∫0Rza*ПΘ=13sin (πnΘxΘ/RΘ) dzdydx, вычисленные на предыдущей итерации.

Заметим, что всякое нестационарное линейное уравнение Шрёдингера с постоянной потенциальной энергией U0p`= Up (x,y,z) = const является параболическим. В этом случае частное решение рассматриваемого дифференциального уравнения Q``=Q``nxnynz можно представить в форме (3.7), поскольку индексы nx, ny, nz принимают натуральные значения (nx, ny, nz∈N). Если в качестве амплитуды вероятности Ψ подставить в равенство (4.1) периодическую функцию Ψp (t, nx, ny, nz) ПΘ=13sin (πnΘxΘ/RΘ), то получим

Следовательно, частное решение трёхмерного линейного нестационарного уравнения Шрёдингера (Ψp=Q``nxnynz, когда U0p`∈R) имеет вид

Известно, что общее аналитическое решение Q``` (где Q```=Ψ) любого трёхмерного линейного уравнения Шрёдингера представляет собой сумму всех частных решений Q``111,…,Q``nxnynz,…,Q``∞∞∞ по nx, ny, nz (при nx, ny, nz∈N):

Через Ψ* обозначается комплексно сопряжённая волновая функция. Плотностью вероятности локализации элементарной частицы в точке с координатами (x, y, z) называется величина ΨΨ*.

Из условия нормировки

можно вычислить каждый из действительных коэффициентов Cp= const (при p∈N), где Rx0=RxOx/2, Ox∈N; Ry0=RyOy/2, Oy∈N; Rz0=RzOz/2, Oz∈N; Ox, Oy, Oz -> ∞. Отсюда

здесь t1, t2 — нижний и верхний пределы интегрирования; nx, ny, nz∈N — дискретные квантовые числа.

Для построения физической модели устойчивого химического соединения, обладающего свойствами симметрии, компактности и, возможно, периодичности, следует в первую очередь подставить в формулу (4.1) приведённую потенциальную энергию U0p`. Используя закон Кулона для надлежащего параметра U0p, можно определить условия существования неподвижной молекулярной структуры. Атомы любого синтезированного вещества сохраняют стабильность до тех пор, пока сумма всех потенциальных энергий ∑o∑j> oUoj остаётся неизменной. Эта сумма достигает минимума при установлении электростатического равновесия между положительными ядрами и отрицательными лептонами: ∑Fe = 0, если rmax>= roj>= rmin (для всех o, j∈N; j> o), где roj — расстояние между частицами с номерами o и j; rmax, rmin — максимальный и минимальный из возможных делителей r12, roj,… соответственно; qo, qj — заряды бозонов и/или фермионов; K — поправочный коэффициент. Тогда

Волновая функция Ψ — комплекснозначная величина, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Само отображение Ψ не имеет непосредственного физического смысла; физический смысл приписывается плотности вероятности ΨΨ*. Упомянутую амплитуду вероятности Ψ удобно представить в виде суммы ∑pΨp, где каждый член Ψp характеризует определённое собственное состояние рассматриваемой квантовой системы.

В четвёртом разделе этой книги будут изложены правила решения произвольного линейного нестационарного уравнения Шрёдингера. Опираясь на методику параграфа 4.1, можно, с одной стороны, описать большинство явлений нерелятивистской квантовой механики, а с другой — дать теоретическое обоснование коллапсу волновой функции Ψ.

4. Об аналитическом решении уравнения Шрёдингера в C3

В четвёртой главе настоящей работы будет разобран новый подход к решению дифференциальных уравнений в частных производных. В качестве примера мы разрешим трёхмерное нестационарное линейное уравнение Шрёдингера, полученное для одной заряженной частицы, заключённой внутри декартовой системы координат (x,y,z). Исследуемое уравнение возможно записать в форме

где символ ∇2 обозначает сумму вторых частных производных по координатам:

а указатели ∂t и ∂xx эквивалентны соответственно ∂/∂t и ∂2/∂x2.

Надлежащее одномерное линейное нестационарное уравнение Шрёдингера имеет вид

4.1 Пример решения уравнения Шрёдингера

Для нахождения общего аналитического решения нестационарного линейного уравнения Шрёдингера разложим в ряд Фурье следующие выражения:

здесь a=ħ2/ (2*M); x∈ [0,Rx]; F (x) ∈C — произвольная функция; 0 и Rx — координаты, задающие граничные условия Дирихле.

Умножим обе части равенства (4.2) на отображение F (x):

Заменим в (4.3) величины Ψ, Up (x) F (x) и F (x) соответствующими рядами Фурье A`, B` и C`:

В формуле (4.4) присутствуют общие экспоненциальные множители e2iπmxx/Rxe2iπnxx/Rx, которые благодаря ортогональности базисных функций сокращаются. После проведённых преобразований получим

где

Для синус-разложения надлежащие выражения принимают вид

Разделяя в уравнении (4.5) переменные относительно комплексного параметра Ψp (t, nx, mx), находим

Теперь, используя условие нормировки вероятности ∫-Rx0Rx0ΨΨ*dx=1, вычислим соответствующий интеграл. В рассматриваемом примере произведение коэффициентов CpCp* не зависит от времени t, поскольку сумма ∑p|Cp|2 остаётся постоянной (∑p|Cp|2=1), когда t=0 и/или для всех вещественных Ep. Область определения действительной части волновой функции Re (Ψ) лежит на отрезке [0,Rx]. При этом для постоянной Rx можно задать любое положительное значение, удовлетворяющее равенству Rx = 2Rx0 /Ox. В рамках данной теории непрерывные функции Ψ и Ψ* являются периодическими, а их графики симметричными или асимметричными относительно оси ординат y. Следовательно,

Исходя из выведенного одномерного уравнения Шрёдингера, рассчитаем полную энергию Ep электрона, находящегося в состоянии Ψp:

Отсюда

Для трёхмерного базиса (x,y,z) соответствующее выражение принимает вид

Если в формуле (4.6) произвольная функция F (x) не сокращается, то найденный параметр Ep оказывается неопределённым (при Up (x) ≠const). Таким образом, согласно предложенной методике, величины E1, Ep,… зависят также от степени вариативности случайных процессов, протекающих в исследуемой физической системе. В стационарных условиях, когда Ep=const, левые и правые части равенств (4.6) и (4.7) принимают фиксированные во времени значения.

4.2 Коллапс волновой функции

Если функции ψ1 и ψ2 являются волновыми, то их линейная суперпозиция ψ3 = c1ψ1 + c2ψ2 описывает некоторое состояние изолированной квантовой системы. В случае, когда измерение физической величины f` в состоянии ψ1 даёт результат f1, а в состоянии ψ2 — результат f2, тогда измерение состояния ψ3 приведёт к результатам f1 или f2 с вероятностями |c1|2 и |c2|2 соответственно. Произвольная комбинация частных решений нестационарного линейного уравнения Шрёдингера всегда может быть представлена в виде суммы волновых функций ∑pΨp.

Суть мысленного эксперимента с котом Шрёдингера заключается в следующем. В ящик помещаются банка с ядом, механизм с детектором и изначально живой кот. В ходе ядерной реакции срабатывает детектор, приводящий в движение механизм, который разбивает сосуд с ядом, и кот погибает. Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдение, то его состояние описывается суперпозицией двух состояний: распавшегося и нераспавшегося. Следовательно, кот в ящике оказывается одновременно и живым, и мёртвым. При открытии ящика экспериментатор обнаруживает лишь одно конкретное состояние: «ядро распалось, кот мёртв» или «ядро не распалось, кот жив».

В квантовой механике коллапс волновой функции Ψ возникает тогда, когда комплекснозначная величина Ψ, первоначально представленная в виде суперпозиции нескольких собственных состояний Ψ=∑pΨp, сводится к одному собственному состоянию Ψp из-за взаимодействия системы с внешним миром (наблюдения или измерения). Под нормированной суперпозицией ∫-Rx0Rx0ΨΨ*dx=1 понимается приравненная к единице сумма проинтегрированных плотностей вероятностей ∑p∫-Rx0Rx0ΨpΨp*dx=1. Всякая суперпозиция ∑pΨp продолжает подчиняться линейному нестационарному уравнению Шрёдингера так же, как и каждое отдельное состояние Ψp.

В 1927 году Вернер Гейзенберг использовал идею редукции волновой функции ψ для объяснения квантового измерения нормированной вероятности |cp|2. В данном параграфе будет показано, что коллапс — это фундаментальное физическое явление, которое возможно обосновать математически, опираясь на общее аналитическое решение нестационарного линейного уравнения Шрёдингера Ψ. Вычисления удобно проводить в трёхмерном комплексном пространстве, однако для упрощения расчётов выберем одномерный случай. Пусть F (x) =d (x) +ib (x), тогда

Квадрат модуля коэффициента |Cp|2 определяет начальную нормированную вероятность |cp|2 локализации частицы в состоянии ψp. Постоянное слагаемое aπ2nx2/Rx2 в (4.8) можно опустить, поскольку выше было принято условие зависимости полной энергии Ep от произвольной функции F (x). Для дальнейших преобразований выделим вещественную часть Re (iEp). Полагая Ep*=Re (-iEp), получим

Суперпозицию квантовых состояний Ψ=∑p=1S`Ψp удобно представить как

где S` — полное число возможных состояний системы.

Определим нормированную амплитуду вероятности:

здесь S`` — общее число нормированных состояний.

В точке одномерного пространства, где находится единичный электрический заряд qj, потенциальную энергию Up (x) можно считать бесконечно большой. Вне этой области значения монотонно убывающей функции Up (x) оказываются малыми по сравнению с сингулярностью. Предположим, что в точке с координатой x=f в окрестности ε образовался пик потенциальной энергии Up (x). Для одиночного заряда вне интервала x∈ [f-ε,f+ε] величина Up (x) пропорциональна |1/ (x-f) |. Очевидно, что в точке x=f функция Up (x) принимает бесконечное значение Up (f) =±∞, если ε-> 0. Преобразуем формулу (4.9):

где

Таким образом, полная нормированная энергия Ep* любой замкнутой квантовой системы становится бесконечной (Ep*=±∞) только в случае, когда в точке x=f локализуется заряженная частица, при условии sin (πmxf/Rx) ≠0, b (x) ≠d (x), b (x) ≠0 и d (x) ≠0.

Если кот Шрёдингера на начальном этапе эксперимента существовал в суперпозиции «ни жив ни мёртв», то до открытия крышки ящика состояние системы описывается выражением ψ3. После открытия крышки происходит коллапс волновой функции ψ3, приводящий к наблюдению одного из противоположных состояний ψ1 или ψ2. В результате кот либо погибает, либо выживает.

Рассмотрим коллапс первого собственного состояния |C1|2e2E1*t/ħ нормированной амплитуды вероятности (при S``=2). Если он задаётся уравнением

то |C2|2e2E2*t/ħ=1 и |C1|2=0*∞. Следовательно, для второго состояния справедливо тождество |C2|2e2E2*t/ħ=1, и частица не обнаружится в области, соответствующей индексу p=2.

В общем случае полная энергия квантовой системы равна

здесь

Используя формулу Эйлера e±iθ=cosθ±isinθ, возможно записать

В дальнейшем будет рассмотрена методика, ориентированная на предсказание химических процессов.

5. О свойствах элементарных частиц

В пятом разделе данного пособия мы изучим физические законы, сформулированные для связанных между собой бозонов и/или фермионов.

5.1 Природа частиц и закон Кулона

Равенство (4.7) можно упростить следующим образом:

поскольку

Слагаемое a (π2nx2/Rx2+π2ny2/Ry2+π2nz2/Rz2), которое входит в общее аналитическое решение трёхмерного нестационарного линейного уравнения Шрёдингера, зависит от натуральных коэффициентов nx, ny, nz до тех пор, пока не изменится действующий на амплитуду вероятности Ψ дифференциальный оператор H — Up (x,y,z) =-a∇2 (при nx≠nr, ny≠nθ, nz≠nφ). Если внутри замкнутой физической системы локализуется несколько лептонов и/или ядер, то справедливо соотношение

здесь Mj, nxj — масса и квантовое число nx j-й частицы соответственно; M` — общее число фермионов и/или бозонов.

Выведем формулу для расчёта полной потенциальной энергии Up (x,y,z) =∑j=1M`Uj (x,y,z). Для этого поместим в некоторую точку трёхмерного евклидова пространства (x,y,z) пробный отрицательный заряд q. Сумму ∑j=1M`Uj (x,y,z), характеризующую электростатическое взаимодействие частиц системы с пробным зарядом q, удобно представить в виде

Аналогично, в одномерном случае

Таким образом,