Name: О дифференциальных уравнениях второго порядка и ИИ
Author: Николай Морозов

Эта книга — практикум по решению обычных дифференциальных уравнений второго порядка. Рассматривается 5 заданий. Новым является применение ИИ (нейросетей) при решении ряда дифференциальных уравнений второго порядка. Интересным является связь между решениями обычных квадратных уравнений (из школьного курса алгебры) и дифференциальных уравнений второго порядка. Это значительно облегчает решение последних.

digital

paper-a5-bw

https://store.ridero.ru/text-utils/v1/free-text/slug/o_differencialnykh_uravneniyakh_vtorogo_poryadka_i_ii?volumeLimit=0.25

ridero

Выпуск 1

О дифференциальных уравнениях второго порядка и ИИ

<div class="preview-fragment">Введение
Несколько лет в учебном процессе по математическим дисциплинам в СПбГИК я использовал Электронный Практикум по решению дифференциальных уравнений (ДУ). В Приложении к данной книге имеется глава, в которой приводится инструкция по работе с этим практикумом. В случае приобретения вами любой из моих книг по решению дифференциальных уравнений (смотрите спиcок литературы), я готов вам выслать этот практикум бесплатно.
 
Задания на проведение данной работы можно разделить на две группы:
I. Основные понятия и определения
К этой группе относятся задания 1, 2, 3, и 4.
Их целью является проверка знаний основ решения дифференциальных уравнений.
К формулировке и пояснению некоторых вопросов и ответов на них по данной тематике привлекались нейросети.
II. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
К этой группе относится задание 5.
При выполнении данного задания использовались параллельно 3 нейросети.
III. Выполнение заданий
Задание 1
Выберите несколько вариантов ответа. Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями второго порядка являются:
<figure class="Figure"><img src="https://ridero.ru/books/o_differencialnykh_uravneniyakh_vtorogo_poryadka_i_ii/image/673b44b85d8f22b845d29b03"/></figure>
РЕШЕНИЕ
 
Самое простое задание из всех. Здесь понятие степени уравнения в алгебре заменяется на понятие порядка. Нужно только помнить, что речь может идти о порядке производной или порядке дифференциала. В данном случае, дифференциальными уравнениями второго порядка являются 1 и 4 уравнения.
В данном случае, дифференциальными уравнениями второго порядка являются 1 и 4 уравнения.
Задание 2
Отметьте линейные уравнения.
Какие из приведенных дифференциальных уравнений являются линейными?
<figure class="Figure"><img src="https://ridero.ru/books/o_differencialnykh_uravneniyakh_vtorogo_poryadka_i_ii/image/674340c950351800072b3553"/></figure>
РЕШЕНИЕ
 
Обратимся к нейросетям.
<figure class="Figure"><img src="https://ridero.ru/books/o_differencialnykh_uravneniyakh_vtorogo_poryadka_i_ii/image/673b44ab5d8f22b845d29adf"/></figure>
Давайте рассмотрим каждое из предложенных уравнений и определим, являются ли они линейными.
— Уравнение: y′ (x) +y4 (x) =x
— Это уравнение нелинейное, так как содержит член y4 (x), который является нелинейным по отношению к y.
— Уравнение: y′ (x) ⋅y (x) =x
— Это уравнение нелинейное, так как содержит произведение y′ (x) ⋅y (x), что делает его нелинейным.
— Уравнение: y′′ (x) =sin (x)
— Это уравнение линейное, так как оно является линейным по отношению к y и его производным. Здесь нет нелинейных членов.
— Уравнение: y′′ (x) +y (x) =x2
— Это уравнение линейное, так как оно также является линейным по отношению к y и его производным. Все члены уравнения линейны.
— Уравнение: y′ (x) +y (x) =x
— Это уравнение линейное, так как оно имеет линейные члены по отношению к y и его производной.
Резюме:
— Линейные уравнения: y′′ (x) =sin (x),y′′ (x) +y (x) =x2,y′ (x) +y (x) =x
— Нелинейные уравнения: y′ (x) +y4 (x) =x,y′ (x) ⋅y (x) =x
 
Просто великолепное решение с самыми подробными пояснениями.
Отметим, что в данном случае к ЛИНЕЙНЫМ уравнениям можно отнести и два дифференциальныx уравнения второго порядка:
y′′ (x) = sin (x) и y′′ (x) +y (x) =x^2
Задание 3
Расставьте приведенные дифференциальные уравнения по возрастанию порядка
<figure class="Figure"><img src="https://ridero.ru/books/o_differencialnykh_uravneniyakh_vtorogo_poryadka_i_ii/image/6743411a7e6d260007374564"/></figure>
РЕШЕНИЕ
 
В данном случае ничего изменять ненужно: порядковые номера уравнений находятся в полном соответствии с порядком дифференциального уравнения.
Задание 4
Поставьте в правильное соответствие тип решения дифференциального уравнения с видом функции:
<figure class="Figure"><img src="https://ridero.ru/books/o_differencialnykh_uravneniyakh_vtorogo_poryadka_i_ii/image/673b449f5d8f22b845d29ac1"/></figure>
РЕШЕНИЕ
 
В данном задании все три решения находятся в полном соответствии с типами уравнений.
Задание 5
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
О типах и особенностях решения таких дифференциальных уравнений читайте в Приложении I. Информация к размышлению.
РЕШЕНИЕ
 
Обратимся к нейросетям.
<figure class="Figure"><img src="https://ridero.ru/books/o_differencialnykh_uravneniyakh_vtorogo_poryadka_i_ii/image/673b44935d8f22b845d29a9a"/><figcaption>Чат | Эй, Бро!</figcaption></figure>
Для решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка y′′−5y′+4y=0 мы сначала найдем характеристическое уравнение, которое имеет вид:
 
\ [y (t) = C_1 e^ {4t} + C_2 e^ {t} \],
где \ (C_1\) и \ (C_2\) — произвольные константы, которые определяются начальными условиями.
<figure class="Figure"><img src="https://ridero.ru/books/o_differencialnykh_uravneniyakh_vtorogo_poryadka_i_ii/image/6744408bb7b19600077a98ac"/><figcaption>Нейросеть ChatGPT Online — AI Chat GPT</figcaption></figure>
Ответы к ЗАДАНИЯМ</div>

I. Основные понятия и определения

II. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

ПРИЛОЖЕНИЕ I. Информация к размышлению

1.1.Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1.2.. Квадратные уравнения

ПРИЛОЖЕНИЕ II. Работа с Практикумом

https://store.ridero.ru/text-utils/v1/free-text/slug/o_differencialnykh_uravneniyakh_vtorogo_poryadka_i_ii?volumeLimit=0.25&template=domFragment

Авторская орфография и пунктуация сохранены. Корректорская правка не проводилась.

Книга публикуется в авторской орфографии и пунктуации

Помощник в магазине Rideró

У этой книги нет оглавления

Купите книгу, чтобы продолжить чтение.

Бесплатный фрагмент закончился.

У этой книги нет бесплатного отрывка

Бесплатный фрагмент

Издай свою книгу

У этой книги ещё нет описания

О книге

книги автора

книги авторов

книги импринта

Аудиокнига

Электронная книга

Печатная книга

Автор

Авторы

Мы дарим вам эту книгу бесплатно, читайте с удовольствием, а Rideró начислит автору роялти.

Для этого подтвердите адрес электронной почты.

Получите книгу бесплатно

Начните обсуждать бесплатный фрагмент прямо сейчас и получите электронную версию бесплатно, оставив отзыв длиной не менее 200 символов. 
 Автор при этом получит роялти, как при обычной продаже.

{countAuthors, plural, =0 {} one {Автор {authorName}, } other {{authorName} {isOther, select, true {и другие авторы} other {}} - }}книга {title}{subtitle} {countFormats, plural, =0 { } other {в }}{isPaper, select, true {печатном} other {}}{countFormats, plural, =0 {} one {} other {, }}{isDigital, select, true {электронном} other {}}{countFormats, plural, =3 {, } other {}}{isAudio, select, true {аудио} other {}} {countFormats, plural, =0 {} other {формате }}в интернет магазине Ridero

Читайте онлайн оглавление книги {title}{subtitle}{countAuthors, plural, =0 {} one {, автор {authorName}} other {, авторы: {authorName} {isOther, select, true {и другие} other {}}}}

Читайте бесплатно книгу {title}{subtitle}{countAuthors, plural, =0 {} one {, автор {authorName}} other {, авторы: {authorName} {isOther, select, true {и другие} other {}}}}

{title} - купить книгу в интернет магазине{countAuthors, select, 1 {, автор {authorName}} other {}} Ridero

, автор {authorName}

*Facebook признан экстремистской организацией и запрещен в РФ

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Мы проверили вашу книгу и готовы отправить ее в магазины. Проверьте, пожалуйста, почту {userEmail}, чтобы заключить договор.

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Ой! Кажется, ваша книга нарушает закон РФ, и мы не можем ее опубликовать. Проверьте почту {userEmail}, чтобы узнать подробности.

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Ваша книга поступила в отдел публикации. Проверка книги может занять от 1 до 3 рабочих дней

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Ваша книга добавлена в акцию «{discountDescription}», которая продлится с {discountStart} до {discountEnd}. Расскажите об акции своим друзьям и читателям, чтобы они ее не пропустили.

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}/#freebiePrint"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} {formattedDate} Ура, товарищ! Мы тебе почти за свой счёт готовы напечатать 1 экземпляр новой книги!

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} {formattedDate} вашу книгу скачали {cnt} раз. Хотите больше? Узнайте, как привести больше '<'a target=_blank href="https://beta.ridero.ru/book/share.html#!/{objectId}/"'>'новых читателей'<'/a'>'.

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Аннотация для книги готова

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Аудиокнига готова

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Буктрейлер для книги готов

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Обложка книги готова

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Редактор завершил работу над книгой

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Иллюстрации для книги готовы

Услуга "консультация юриста" оказана

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Помощник завершил работу над книгой

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Отрисовка схем и элементов для книги завершена

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Завершёна услуга "Ridero POD"

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Рекламная кампания книги закончена

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Последняя версия книги опубликована

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Работы по заказу №{number} завершены

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Корректура книги готова

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Верстка книги готова

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Завершена услуга "набор текста" для книги

Мы получили от вас оплату по счету №{number}'<'/i'>' и скоро напишем в почту {userEmail}, чтобы обсудить детали

Мы получили от вас оплату по счету №'<'i'>'{number}'<'/i'>' и скоро напишем в почту {userEmail}, чтобы обсудить детали

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="{bookLink}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Мы проверили вашу книгу и опубликовали ее в магазине Rideró. Скоро она будет опубликована и в других магазинах, которые вы выбрали. Проверьте, пожалуйста, почту {userEmail}, чтобы узнать подробности

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} {formattedDate} Поздравляем! Вашу книгу кто-то только что добавил в избранное! Узнайте, как еще больше '<'a target=_blank href="https://beta.ridero.ru/book/share.html#!/{objectId}/"'>'привлечь внимание читателей'<'/a'>'.

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Нам понравилась ваша книга, и мы добавили ее в тематическую подборку '<'a target="_blank" href="https://ridero.ru/listing/{annotation_id}"'>'{annotation_displayname}'<'/a'>' в магазине Rideró.

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} {formattedDate} для старта продаж мы включили книгу “{objectName}” в специальную подборку. Ваши первые читатели получат электронную версию совершенно бесплатно, а Rideró начислит вам роялти. '<'br/'>' Не забудьте отправить ссылку на книгу друзьям или поделиться ей в соцсетях

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Тираж вашей книги по заказу '<'i'>'{number}'<'/i'>' готов и передан в службу доставки

Мы получили от вас оплату по счету №'<'i'>'{number}'<'/i'>' и скоро напишем в почту {userEmail}, чтобы обсудить детали

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Читатель оформляет покупку вашей книги в электронном формате

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Читатель оформляет покупку вашей книги в бумажном виде

'<'a target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Только что кто-то купил вашу аудиокнигу. '<'a target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/stat"'>'Проверьте статистику!'<'/a'>'

'<'a target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Поздравляем, ваша аудиокнига куплена по акции «{discountDescription}». '<'a target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/stat"'>'Проверьте статистику!'<'/a'>'

'<'a target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Поздравляем! Только что куплена электронная копия вашей книги. '<'a target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/stat"'>'Проверьте статистику!'<'/a'>'

'<'a target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Поздравляем, ваша книга куплена по акции «{discountDescription}». '<'a target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/stat"'>'Проверьте статистику!'<'/a'>'

'<'a target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/view"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Поздравляем! Только что кто-то купил вашу книгу в бумажном виде. '<'a target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{objectId}/stat"'>'Проверьте статистику!'<'/a'>'

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} {formattedDate} бесплатный фрагмент вашей книги {cnt, plural, one {прочитал} other {прочитали}} {cnt} {cnt, plural, one {человек} two {человека} few {человека} many {человек} other {человек}}. '<'a target=_blank href="https://beta.ridero.ru/book/share.html#!/{objectId}/"'>'Привлекайте новых читателей'<'/a'>'

Вы дочитываете книгу '<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period}. Надеемся, она вам понравилась. Пожалуйста, поделитесь впечатлениями на '<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'странице книги'<'/a'>'. Это очень важно для автора.

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} {formattedDate} {cnt} {cnt, plural, one {человек} two {человека} few {человека} many {человек} other {человек}} {cnt, plural, one {начал} other {начали}} читать вашу книгу, купленную в приложении Ridero Store чуть раньше

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} У вашей книги появился новый отзыв на Ридеро! '<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'Перейти на сайт книги'<'/a'>'.

Спасибо за отзыв о книге '<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period}! Поделитесь им в соц. сетях, чтобы рассказать о своих о впечатлениях друзьям и знакомым!

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Кто-то оставил отзыв о вашей книге. Интересно, что там написано? '<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'Перейти на сайт книги'<'/a'>'

Кто-то ответил на ваш отзыв к книге '<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'. Примите участие в обсуждении.

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} Нам понравилась ваша книга, и мы добавили ее в подборку «{annotation_displayname}» на '<'a target="_blank" href="https://ridero.ru/books"'>'главной странице магазина Rideró'<'/a'>'

При загрузке книги '<'b'>'«{bookTitle}»'<'/b'>' произошла ошибка. Свяжитесь с техподдержкой, и мы поможем вам загрузить книгу в систему.

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://beta.ridero.ru/#!/book/{bookId}/view"'>'{bookTitle}'<'/a'>'{period} Поздравляем! Мы распознали вашу рукопись и сделали из нее книгу. Отправьте ее в магазины или закажите тираж.

'<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>'{period} {formattedDate} страницу вашей книги {cnt, plural, one { посмотрел} other { посмотрели}} {cnt} {cnt, plural, one {человек} two {человека} few {человека} many {человек} other {человек}}. '<'a target=_blank href="https://beta.ridero.ru/book/share.html#!/{objectId}/"'>'Продвигайте книгу'<'/a'>' с нами

Заявка '<'b'>'{number}'<'/b'>' на вывод средств принята. В ближайшее время с вами свяжется наш менеджер

Заявка '<'b'>'{number}'<'/b'>' на вывод средств отклонена. Причина: '<'i'>'{rejectionReason}'<'/i'>'

На книгу '<'a class="ga_feed_anchor" target="_blank" href="https://ridero.ru/books/{engTitle}"'>'{objectName}'<'/a'>' из вашего «Избранного» действует скидка {discountAmt}% до {discountEnd}. Самое время ее купить!

Плюсы Rideró, ISBN в подарок, буктрейлеры, вебинары и многое другое

Если вы считаете, что информация на этой странице нарушает закон, сообщите нам

Сообщите о нарушении

Отзывы

Нельзя публиковать ссылки в отзывах

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять отзывы. <button>Зарегистрироваться</button>

Если вы хотите поставить книге оценку 1 или 2, пожалуйста, расскажите, что конкретно вам не понравилось в книге, напишите текстовый отзыв из 200 знаков

Оглавление - О дифференциальных уравнениях второго порядка и ИИ

Выпуск 1