И был прав. Я кивал не потому, что понимал, а потому что не знал, как сказать, что не понимаю. И если только и делаю что не понимаю, то не могу же каждый раз на вопрос «понял?» отвечать «нет», ведь нужно ради приличия и «да» сказать или хотя бы кивнуть. Проще было сделать вид, что всё ясно. Такая же история в школе: если не понял и сказал учителю и он объяснил а я все равно не понял, то что же делать?

Этот момент, как мне кажется сейчас, очень важный. Именно так у многих и начинается отчуждение от математики — не с самой математики, а с невозможности честно сказать «мы не поняли». Хотя после этого может начаться то, что… «все-равно не поняли». И не бесконечно же спрашивать учительницу или учителя. Бесконечность, кстати, тоже изучается в математике. Чтобы ее показать, достаточно взять восьмерку и привести ее в лежачее положение. Но так, чтобы она лежала не на спине, а на боку. Восьмерка-лежебока — это и есть бесконечность.

А я продолжаю рассказывать о том как у меня появился настоящий интерес. Настоящий интерес к математике появился у меня позже — где-то начиная с седьмого класса. Произошло это не потому, что я стал «умнее». Просто в какой-то момент математика начала складываться в смысл, а не в набор правил. Она стала привлекательной. Возможно, что ключевую роль сыграло чтение. На каникулах как обычно был в деревне. Там была библиотека. Вот я туда и пошел. И все завертелось, пошло-поехало. Вот что делает чтение. Я все читал и читал. Когда мы где-то помогали взрослым в хозяйственных делах, и они, уставшие, делали перекур и некоторые спали, то я снова брался за чтение (при этом физически все равно ведь отдыхал).

Однажды мне попалась книга про ученых. Там были ученые самые разные, в том числе и математики. После этого я как будто изменился, вдохновился. И после летних каникул, с седьмого класса, блеснул не сапогом, а умом. Через некоторое время получил новое прозвище: Ломоносов, из-за того что учил все подряд.

Я вдруг заметил, что мне хочется с математикой иметь дело. А после того как имеешь дело с математикой (с царицей наук), легче иметь дело с остальными.

На переменах или после школы иногда заходил в книжный магазин. И вместо того чтобы идти к художественной литературе (хотя ее тоже читал), подходил к полкам с физико-математическими книгами.

Не всегда всё понимал в этих книгах. Чаще — наоборот. Но мне было интересно. Листал, смотрел, пытался уловить мысль, идею, ход рассуждений. Смотрел на формулы, на портреты математиков.

Меня привлекали формулы, решения задач. Но временами отпугивала сложность некоторых разделов.

Бывало до поздней ночи ломало голову над задачей. Мозг устал, работает на полставки, глаза болят от умственного напряжения, а я все пытаюсь решить. В такие минуты лучше наверное отдохнуть и снова вернуться.

Позже начал участвовать в математических олимпиадах. Точнее, меня приглашали. И даже всерьёз задумывался о том, чтобы стать математиком.

Но главное было не в олимпиадах и не в результатах.

Главное — из всей этой истории можно сделать вывод: увлечься математикой можно даже тогда, когда раньше понимание было слабым.

Не обязательно всё схватывать сразу.

Не обязательно быть быстрым.

Не обязательно понимать с первого объяснения.

Можно идти медленно. Можно возвращаться. Можно долго не понимать — и вдруг понять.

Эта книга появилась из такого вот опыта. Как быстрый старт. Она написана по принципу «галопом по европам» и пишется из Европы (или «в Европе», как будет правильнее сказать?), где я пока что нахожусь. Эх, куда только жизнь меня не бросает.

Книга для тех, кто боится математики.

И для тех, кто любит её.

И для тех, кто только собирается увлечься ею.

Для детей и взрослых (кстати, взрослые могут начать — с целью помочь своим детям-школьникам)

Для школьников и студентов.

А по большому счёту — для всех любителей и нелюбителей математики.

Так у вас может появиться новое увлечение, хобби, не побоюсь этого слова. Яркий пример человека, увлекающегося математикой — Ферма. Профессионально он был юристом, а математикой занимался после работы.

Здесь я хочу показать, что математика — это не экзамен и не проверка на ум.

Это способ мышления.

И если дать себе время и право не понимать сразу, она может стать очень живой и интересной.

Я уже не говорю (хотя уже говорю) о том, что математика помогала мне часто. Для поступления в институт нужно было сдать три экзамена. Максимальный бал по каждому — 20. Именно столько поучил по математике.

Во время одного из экзаменов в институте, я только сел перед преподавателем и начал разговаривать и одновременно чертить график, после чего он прервал меня, поставил пятерку и сказал что «раз я черчу график, значит я в этой теме разбираюсь». Это был самый быстрый экзамен в моей жизни (а их было много), который закончился даже не начавшись.

Да, были времена. Но они и сейчас есть: скоро нужно будет начать работу над докторской диссертацией (в области психологии), так что дел хватает.

А как я до этого докатился?

Позже так получилось, что круг моих интересов стал расширяться до пугающих размеров: математика, рисование, графика, языки, экономика, психология, философия, богословие, юмор, литературные переводы, авторская песня, пение, публицистика, астрономия, фитнес, фриланс.

Что же делать? Как угнаться за всем этим? Причем для меня важно, чтобы не забрасывал что-либо надолго. Вот так жизнь и превратилась в какой-то многогранник, а я — в того, кто то и дело перескакивает от одной грани к другой. Мало того что я в такое вляпался, так еще и пропагандирую разностороннее развитие.

Вот так и получилось: познакомился с царицей, а она познакомила меня со многими другими.

Часть I. Математика без страха

Глава 1. Почему математики боятся (и зря)

Страх перед математикой — явление удивительно распространённое. Причём боятся её не только дети, но и взрослые. Не только гуманитарии, но и вполне успешные люди, которые ежедневно принимают сложные решения, управляют бизнесом, воспитывают детей и разбираются в жизни.

Фраза «я не понимаю математику» звучит почти так же часто, как «я не умею рисовать» или «у меня нет слуха». И почти всегда за ней скрывается не отсутствие способностей, а опыт неудачного знакомства.

Математики боятся не потому, что она сложная.

А потому, что с ней слишком рано начинают разговаривать на чужом языке.

Страх номер один: «я глупый»

Очень часто страх перед математикой формируется ещё в школе. Учитель объясняет тему, задаёт пару вопросов, у доски решают задачу — и дальше класс идёт вперёд. А кто-то в этот момент остаётся позади.

Он может не задать вопрос.

Может постесняться.

Может просто кивнуть головой — как когда-то делал я.

И если таких моментов накапливается много, возникает ощущение: со мной что-то не так.

На самом деле это не так.

Математика — это не проверка интеллекта. Это язык. А язык невозможно выучить за один урок.

Кстати, скажу по секрету: я тугодум. Не умею схватывать на лету. Так было в школе и так осталось до сих дней. Если учитель что-то объясняет, особенно математику, я могу не успеть все понять. Часто так и было. Но ведь можно и самостоятельно учить, когда не нужно спешить понять, но мы предоставлены самим себе, со своими скоростями и остановками между попытками понять.

Страх номер два: «Это слишком сложно и не для меня»

Формулы, символы, буквы вместо чисел — всё это выглядит пугающе, если не объяснить, что именно происходит и зачем.

Представьте, что вам показали текст на незнакомом языке и сказали: «Запомни это». Скорее всего, вы решите, что язык слишком сложный. Но проблема будет не в языке, а в способе обучения.

С математикой происходит то же самое.

Страх номер три: «Мне это никогда не пригодится»

Когда человек не понимает смысла, мотивация исчезает. Зачем учить то, что кажется бесполезным?

Но математика — это не только школьные задачи. Это умение:

рассуждать

видеть связи

отличать главное от второстепенного

проверять выводы

Даже если вы никогда не будете решать уравнения, математическое мышление будет работать каждый день.

Почти каждый человек способен понимать математику на своём уровне. Не все станут математиками — и это нормально. Но понять основы, научиться думать и даже получать удовольствие от процесса может гораздо больше людей, чем принято считать.

Одна из целей книги — снять напряжение. Не доказать, что математика лёгкая. А показать, что она понятная, если идти шаг за шагом.

В следующих главах мы начнём именно так: спокойно, без спешки и без страха.

Кстати, математикой многие занимаются, чтобы развивать свой ум, так как математика — это гимнастика для ума.

Глава 2. Что такое математика на самом деле

Попробуем начать с простого, но важного вопроса.

Что такое математика?

Чаще всего на него отвечают так: числа, формулы, задачи, вычисления. И это правда — но лишь внешняя сторона. Это всё равно что сказать, что музыка — это ноты на бумаге, а язык — это буквы в учебнике.

На самом деле математика — это способ мышления.

Математика — это язык мышления

Математика похожа на язык. У неё есть свой алфавит (числа и знаки), свои слова (выражения), свои предложения (формулы) и даже свои тексты (доказательства).

Когда мы учим иностранный язык, мы не начинаем с толстого словаря и сложной грамматики. Мы сначала привыкаем к звучанию, смыслу, простым фразам. С математикой должно быть точно так же.

Формула — это не что-то пугающее, не священный ужас. Это всего лишь короткая запись мысли.

Например, вместо длинного объяснения можно написать одну строчку — и в ней будет зафиксирован весь смысл. В этом смысле формулы не враги, а помощники.

Почему формулы пугают

Формулы начинают пугать тогда, когда появляются раньше смысла.

Если человеку показать набор символов и сказать: «Запомни», — он либо выучит их механически, либо решит, что это не для него. Именно так у многих и складываются отношения с математикой.

Формула без понимания — это как фраза на незнакомом языке. Она может выглядеть красиво, но не говорить ни о чём.

Поэтому здесь мы будем делать наоборот:

сначала смысл

потом идея

и только потом запись

Как перестать бояться формул

Есть простой принцип, который стоит запомнить:

Если вы понимаете, о чём идёт речь, формула перестаёт быть страшной.

В этой книге формулы будут появляться не для того, чтобы напугать или проверить вас. Они будут возникать естественно — как удобный способ сказать мысль короче и точнее.

И если в какой-то момент формула кажется непонятной — это нормально. Это не повод закрывать книгу. Это повод остановиться, перечитать, подумать. Математика никуда не убегает. Она ожидает (математическое ожидание).

Главное, что стоит уяснить

Математика — это не соревнование на скорость (хотя на олимпиадах именно так и есть, но об этом потом).

Не тест на интеллект.

Не набор трюков для избранных.

Это спокойный, последовательный способ думать о мире, количестве, связях и изменениях.

И если начать относиться к ней именно так, страх постепенно уходит, а на его место приходит интерес.

В следующей главе мы начнём разбирать самые базовые вещи — числа и их смысл. Без спешки. С примерами. И с тем самым мышлением, о котором мы только что говорили.

Что касается олимпиад, то там важна скорость. Но олимпиады — не самое главное. Один из крупных математиков как-то сказал, что «если бы в его молодости были олимпиады, то он никогда не стал бы математиком». А сказал он это потому, что решал математические задали не быстро, а спокойно созерцая.

«Тише едешь — дальше будешь» подходит и в этом смысле.

Глава 3. Как всё начиналось

Чтобы понять, что такое математика на самом деле, полезно оглянуться назад — к самому началу.

Математика не появилась сразу в виде учебников, формул и строгих определений. Она родилась из очень простых и практичных человеческих потребностей: считать, сравнивать, делить, измерять.

Когда чисел ещё не было

Представьте себе мир, в котором нет чисел.

Люди охотятся, собирают плоды, обмениваются вещами. Нужно понимать: сколько у тебя еды, сколько животных в стаде, сколько дней прошло с последнего полнолуния. Но слов «три», «пять» или «десять» ещё не существует.

Поначалу счёт был телесным.

Пальцы рук.

Камешки.

Зарубки на дереве.

Это ещё не числа в современном смысле. Это идеи количества.

Что такое число и почему это не так просто

Сегодня нам кажется очевидным, что число — это просто символ: 1, 2, 3, 10.

Но на самом деле число — это абстрактная идея.

Число «три» — это не три яблока и не три камня. Это общее свойство любых трёх предметов. Именно поэтому одно и то же число может описывать совершенно разные вещи.

Понять это — значит сделать важный шаг в математическом мышлении.

Числа — не символы, а идеи

Символы — это лишь способ записи.

Римские цифры.

Арабские цифры.

Слова.

Идея числа при этом остаётся той же самой.

Когда-то люди пользовались разными системами счёта, и каждая из них отражала их образ жизни и мышления. Но в основе всегда лежала одна и та же потребность — понять и удержать количество.

Именно здесь начинается математика: не с формул, а с попытки осмыслить мир.

С чего начинается математика на самом деле

Математика начинается с вопросов.

Сколько?

Больше или меньше?

Хватает ли?

Как разделить поровну?

Это вопросы, которые задавали себе люди тысячи лет назад. И это те же самые вопросы, которые мы задаём сегодня — в магазине, на работе, в жизни.

Числа стали первым инструментом, который помог человеку думать точнее.

И дальше математика будет расти именно так: шаг за шагом, от простых идей — к более сложным, от конкретного — к абстрактному.

В следующей главе мы начнём разбирать самые базовые числовые операции и посмотрим, что за привычными действиями скрываются идеи, без которых математика невозможна.

Часть II. Числа и действия

Глава 4. Сложение, вычитание и умножение — идеи, а не приёмы

Когда человек впервые сталкивается с математикой, ему часто кажется, что всё начинается с действий: сложить, вычесть, умножить, разделить. Но на самом деле всё начинается с идей, которые стоят за этими действиями.

Сложение: идея объединения

Сложение — это самая простая и самая древняя математическая идея.

У нас было что-то одно.

Потом появилось что-то ещё.

И мы хотим понять, сколько стало всего.

Три яблока и ещё два яблока — это не операция. Это история про объединение. Про то, как отдельные части становятся целым.

Именно поэтому сложение понятно даже маленьким детям — задолго до того, как они узнают слово «математика».

Вычитание: идея отделения

Вычитание — это обратная история.

Было целое.

Часть ушла

И нас интересует, что осталось.

Вычитание — это не наказание и не усложнение. Это просто другой взгляд на количество. Не «плохо», не «минус», а изменилось.

Умножение: сокращённая форма сложения

С умножением у многих начинаются трудности. Таблица умножения, заучивание, скорость — всё это часто убивает понимание.

Но если убрать внешнюю оболочку, идея умножения очень проста.

Умножение — это многократное сложение одинаковых частей.

Когда мы говорим: 6 умножить на 7, мы на самом деле говорим:

6 +6 +6 +6 +6 +6 +6

То есть шесть, сложенное само с собой семь раз.

Умножение придумали не для того, чтобы усложнить жизнь. Его придумали, чтобы писать и думать короче.

Вместо длинной цепочки сложений появляется одна компактная запись — и в этом её сила.

Почему важно это понимать

Если видеть в действиях только правила и приёмы, математика быстро превращается в набор механических шагов.

Но если видеть за ними идеи — объединения, отделения, повторения — всё становится намного проще и логичнее.

Математика перестаёт быть фокусом и становится понятным языком описания количества.

В следующих главах мы будем продолжать именно в этом духе: сначала идея, потом действие, и только потом привычная запись.

Глава 5. Деление: что значит делить на самом деле

Деление часто считают самым сложным из базовых действий. Во многом потому, что его воспринимают как отдельный и самостоятельный приём. Но если посмотреть глубже, деление — это всего лишь продолжение уже знакомых идей.

Деление как обратная идея умножения

Мы уже говорили, что умножение — это многократное сложение одинаковых частей.

Деление — это движение в обратную сторону.

Если умножение отвечает на вопрос:

«Сколько получится, если взять одно и то же количество несколько раз?»,

то деление отвечает на другой вопрос:

«На сколько равных частей можно разделить целое?» или

«Сколько раз одно количество содержится в другом?»

Например, если у нас есть 24 яблока и мы хотим разделить их поровну между 6 людьми, мы фактически спрашиваем:

— Сколько яблок получит каждый?

Это и есть деление.

Деление как идея справедливого распределения

Исторически деление возникло из очень жизненной потребности — делить справедливо.

Еду.

Добычу.

Землю.

Время.

Деление — это не про дроби и не про сложные правила. Это про равенство и баланс.

Если что-то делится поровну, деление работает легко и естественно. Трудности начинаются тогда, когда мы теряем смысл и остаёмся только с записью.

Почему деление кажется трудным

Часто деление объясняют как механическую операцию: «дели столбиком», «запоминай алгоритм». При этом вопрос почему именно так остаётся без ответа.

Но если помнить, что деление связано с умножением, многое встаёт на свои места.

Например, выражение:

24 ÷ 6

можно мысленно заменить вопросом:

— Какое число при умножении на 6 даёт 24?

И ответ находится гораздо спокойнее.

Итак, деление — это:

обратная сторона умножения,

идея справедливого распределения,

способ задать вопрос, а не выполнить трюк.

Если видеть в делении именно это, оно перестаёт быть пугающим.

Немного о порядке действий

Когда в выражении встречается несколько действий сразу, возникает ещё один источник страха — порядок действий.

Но и здесь всё не так сложно, как кажется.

Порядок действий придумали не для усложнения, а для ясности. Он нужен, чтобы все понимали выражение одинаково.

Сначала выполняются те действия, которые связаны с повторением и объединением (умножение и деление), а уже потом — более простые изменения (сложение и вычитание).

Это похоже на речь: сначала мы собираем смысловые блоки, а потом связываем их в одно предложение.

В следующей главе мы сделаем важный шаг и поговорим об отрицательных числах — о том, как они появились, что означают и зачем они вообще нужны.

Глава 6. Отрицательные числа: когда появляется направление

До этого момента мы имели дело только с положительными числами. Это естественно: сначала человек считал то, что есть — предметы, дни, расстояния.

Но жизнь довольно быстро поставила другой вопрос: а как описать отсутствие, потерю или движение в обратную сторону?

Так в математику вошли отрицательные числа.

Как появились отрицательные числа

Долгое время отрицательные числа казались людям странными и даже бессмысленными.

Как может быть «меньше, чем ничего»?

Во многих древних культурах такие числа просто не признавали. Их избегали и считали ошибкой. Но практика оказалась сильнее философии.

Когда появились долги, стало ясно: можно иметь не только имущество, но и обязательства.

Если у тебя есть 5 монет — это +5.

Если ты должен 3 монеты — это −3.

Отрицательные числа оказались удобным и честным способом описывать реальность.

Что означает знак минус

Минус — это не «плохо» и не наказание.

Это указание направления.

Плюс означает движение в одну сторону, минус — в противоположную.

На числовой прямой это особенно хорошо видно:

вправо от нуля — положительные числа,

влево от нуля — отрицательные.

Ноль при этом — точка отсчёта, а не «ничто».

Отрицательные числа в жизни

Мы сталкиваемся с ними постоянно:

температура ниже нуля,

уровень моря,

банковский баланс,

движение вниз или назад.

Во всех этих случаях минус означает не отсутствие, а отклонение от выбранной точки отсчёта.

Почему отрицательные числа пугают

Страх возникает кроме прочего из-за заученных правил:

минус на минус даёт плюс,

большее отрицательное меньше меньшего

Без смысла эти правила действительно выглядят странно.

Почему минус на минус — это плюс

Попробуем подумать через идею направления.

Один минус — это шаг назад.

Второй минус — это отмена этого шага.

Отмена движения назад возвращает нас вперёд.

Поэтому:

(−1) · (−1) = +1

Это не фокус, а логика.

Главное, что стоит запомнить

Отрицательные числа — это:

язык долгов и дефицита,

способ описывать направление,

расширение понятия числа.

Они не усложняют математику, а делают её более точной и честной.

Постскриптум. Немного формул — когда смысл и без того уже ясен

Если вы дочитали книгу до этого места, значит, самое важное уже произошло: страх почти ушёл, а понимание появилось.

Теперь можно позволить себе ещё один шаг — посмотреть на формулы и операции. Не как на нечто пугающее, а как на краткую запись уже понятных идей.

Важно помнить: формулы и правила не создают смысл. Они лишь сжимают его.

Операции с положительными и отрицательными числами

Когда появляются отрицательные числа, привычные действия — сложение, вычитание, умножение и деление — начинают выглядеть непривычно. Но по сути ничего нового не происходит.

Всё снова упирается в идею направления.

Сложение: движение по числовой прямой

Представим числовую прямую.

5 + (−12) означает:

мы находимся в точке 5,

и делаем 12 шагов в отрицательную сторону.

В результате попадаем в −7.

То же самое можно прочитать как:

было 5, убрали 12

стало −7

Смысл важнее записи.

Вычитание: это всегда прибавление противоположного

Вычитание отрицательного числа часто сбивает с толку.

Например:

3 — 5

Это означает:

мы были в точке 3,

и сделали 5 шагов назад.

Результат — −2.

А теперь:

3 — (−5)

Здесь происходит другое:

мы не вычитаем 5,

мы вычитаем движение назад.

Бесплатный фрагмент закончился.

Купите книгу, чтобы продолжить чтение.