Бесплатный фрагмент - Краткая история математики

Математика (греч. mathematike, от mathema — знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Сочинения, 2 изд., т. 20, с. 37). Абстрактность М., однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение М. наполняется всё более богатым содержанием.

Из Большой Советской Энциклопедии

«Математика — это скважина, через которую логический ум может подглядывать за идеальным миром».

Виктор Кротов

«Между духом и материей посредничает математика».

Хуго Штейнхогус

«Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».

Джордж Сантаяма

«Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим».

Бертран Рассел

История математики — очень важная часть всей истории науки, ибо математика — одна из составляющих научного базиса человечества. Различные люди внесли свой вклад в развитие математики — древнегреческие философы Фалес Милетский и Аристотель, астроном Клавдий Птолемей, китайский философ и политический деятель Чжугэ Лян, внук самого великого Тамерлана, астроном Улугбек, знаменитый хорезмийский писатель Омар Хайям, не менее знаменитый польский астроном Николай Коперник, «остановивший Солнце, сдвинувший Землю», царь Петр Великий, физик Христиан Гюйгенс, экономисты Карл Маркс, Томас Пикетти, Адам Смит, Джон Кейнс и многие другие. Рассмотрим историю математики с самого её зарождения и до наших дней.

I этап развития математики: Математика в Древнем Мире

Ясное понимание математики, как науки, стало возможно лишь по накоплению человечеством более-менее серьезного пласта знаний по ней, а это случилось только в Древней Греции в VI — V веках до н. э. До этого, шло развитие лишь элементарной математики, которая была необходима для решения потребностей торговли — счёта предметов, измерения количества продуктов, площадей земельных участков, определения размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерения времени, коммерческим расчётам, навигации и т. п.

В целом, математика оставалась в зачаточном состоянии, ограничившись выработкой четырех арифметических действий, простых дробных чисел и простых арифметических действий с дробями.

Центром математики были Древний Египет, с его папирусами, и Вавилон с шумерскими глиняными табличками. Сиречь, те места, в которых шло опережающее развитие письменности (т.н. математические папирусы и клинописные математические тексты). На втором этапе происходит сращивание вышеперечисленных открытий в первый форпост математики — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие геометрии. Эти процессы зародились в Вавилоне, но шли у многих народов, независимо и параллельно. В том же Вавилоне, опираясь на развитие арифметики, родилась алгебра, а развитие астрономии вызвало зарождение тригонометрии. Вавилону принадлежит первенство в разработке систем счисления (десятичная и шестидесятеричная), таблиц обратных чисел, таблиц произведений квадратов, квадратных и кубических корней, измерения углов. Также именно они разработали то, что потом будет доработано Пифагором и станет его знаменитой теоремой.

Нашествия «народов моря» на Египет и ассирийцев на Вавилон привели к страшному ущербу для математики. Было уничтожено значительное количество носителей информации, что привело к временному упадку математики. Однако это привело и к очередному прорыву — в Древней Греции произошло логическое построение математической науки, благодаря произошедшему там объединению математики и философии. Была разработана Пифагором и внедрена теория чисел, проведена систематика учения о величинах и измерении, было дано, наконец, определения действительного числа, но понятия иррационального и отрицательного числа греки не выработали из-за слабой математическо-абстракционной базы. Именно на этом этапе оформляется алгебра как буквенное исчисление, появляются специальные обозначения для неизвестных, введённые древнегреческим математиком Диофантом (но обозначение буквами коэффициентов уравнений будет введено только французским математиком Ф. Виетом в XVI веке). Развитие геодезии и астрономии привело к детальной разработки тригонометрии, как плоской, так и сферической. В VI веке до н. э. Пифагор, опираясь на сохранившиеся вавилонские и египетские данные, дополняет и углубляет знаменитую ныне теорему, носящую его имя. Он же вырабатывает уже упоминавшуюся теорию чисел, углубляя арифметику. Идет широкое развитие геометрии, развивая египетские наработки, открыты соотношение площадей подобных фигур, несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной. Благодаря Гиппократу Хиосскому оформляется геометрия, появляется первый учебник по геометрии его авторства. Доказывается равенство треугольников и открываются все пять правильных многогранников. На рубеже V — IV веков до н. э. Демокрит, исходя из своей теории атома, создает способ определения объемов, что послужило «путеводным маяком» для Архимеда, который внес вклад в зарождение исчисления бесконечно малых, что было необходимо ему для создания первого насоса и специальных зеркал, фокусирующих солнечную энергию, которые были установлены на стенах города Сиракузы и приняли активное участие в отражении римской агрессии, поджигая транспортные корабли с легионами.

Однако, после Пелопонесской войны, в которой центр математики — Афины — был разгромлен, начался упадок математики. Более того, началось вмешательство философии в математику (результат их слияния) — Аристотель запретил применять арифметику к геометрии. Был введен принцип ограничения построения геометрических фигур.

С III века до н.э. центр математики переносится в Александрию, мощный научный, военный, торговый и политический центр в Египте. Особенно крупное значение имела Александрийская библиотека — кладезь полезной информации. Туда же переехало большинство математиков Греции, кроме Архимеда, оставшегося жить в Сиракузах. С этим периодом связана деятельность Евклида, Эратосфена и Аполлония Пергского. Разрыв с философией и обособление математики от философских ограничений обеспечили новый прилив развития. В своих «Началах», Евклид собрал и подверг окончательной логической переработке достижения предыдущего периода в области геометрии. Вместе с тем, в «Началах» же, Евклид впервые заложил основы систематической теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Из геометрических работ Евклида, не вошедших в «Начала», и работ Аполлония Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития математики имело создание законченной теории конических сечений. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в том числе площадей параболического сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (например, шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 веке до н. э. трансцендентных кривых. Существенным недостатком всей математики Древнего Мира было отсутствие окончательного понятия иррационального числа, а также слишком сильный прорыв в области геометрии, из-за чего началось её наступление на алгебру. Это наступление, поддержанное крупным математиком Героном в своем труде «Метрика», удалось отразить в работе «Арифметика» Диофанта. Тригонометрия, фактически, отделилась от математики и стала придатком астрономии, отчего развитие её шло отдельно (вернется она лишь в XIX веке).

Ещё один недостаток — в конце Древнего Мира, на волне Великого Переселения народов и нашествия гуннов, развитие всех наук, включая и математику, вообще прекращается, а все новые работы сводятся к комментированию старых авторов. Поэтому изучение математики ведется только в Китае и Индии. Наличие у китайских математиков высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраическим методам обнаруживает уже «Арифметика в девяти главах», составленная по более ранним источникам во II — I веках до н. э. Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном. В этом сочинении описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Большое число задач формулируется так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. Геометрические задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я половина VII века). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших степеней было дано в работах математиков XIII — XIV веков Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Ши-цзе. Расцвет индийской математики относится к V — XII векам (наиболее известны индийские математики Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара). Индийцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление современной десятичной системы счисления и систематическое употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь «арабскими», не вполне выяснено. Второй, ещё более важной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Однако обычно при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в XVII веке) получают самостоятельное значение. В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса и косинуса.

II этап развития математики: Математика в Средние Века

В Средние века развитие науки в Европе прекращается вообще. Религиозный диктат полуграмотных Пап Римских, общая атмосфера апокалипсиса, непрекращающиеся войны, а, в конце-концов, эпидемия чумы и последовавший за ней трактат «Молот Ведьм», объявивший науку «ересью и поклонением дьяволу», что привело к крестовому походу инквизиции и массовым чисткам, привели к деградации и фактическому уничтожению всех наук, в том числе, и математики. Китай погряз в эпохи Троецарствия, в Индии, после вторжения эфталитов, началась тотальная гражданская война, поэтому всё развитие математики перешло в Среднюю Азию и на Ближний Восток.