Бесплатный фрагмент - GCSE по математике в условиях повышенной мобильности

Special thanks go to Katharina Telepin for selection and interpretation of the primary material, as well as for ensuring the quality of feedback provided to the respondents

О чем и зачем

Текст, который будет изложен далее, составлялся для не очень многочисленной группы лиц с более или менее ярко выраженной активной жизненной позицией. Словосочетание «активная жизненная позиция» мне совсем (очень-очень) не нравится. Но я решил его использовать по той причине, что оно максимально точно описывает фокус-группу будущих читателей (решателей).

Итак, люди, которые стремятся дать своим детям хорошее образование, но волею судеб, будь то специфика работы, житейские обстоятельства или идеологические воззрения, вынуждены активно перемещаться по миру, частенько останавливают свой выбор на English school (boarding). Этот текст не ставит перед собой задачу разобраться с большим набором сложностей (психологических, административных, культурных и т. д.), с которыми столкнется подросток на пути получения своего первого документа об образовании, обучаясь в английской школе-интернате. Речь идет, как видно из названия, об уровне GCSE и исключительно о предмете «Математика». Предмет, всю красоту которого автор даже не пытается передать этим скромным текстом, придется осваивать на английском языке, для читателей и их детей языке неродном.

Напомню, GCSE — General Certificate of Secondary Education — обязательный уровень среднего образования в британской школе, создан для детей 14–16 лет. Существуют различные форматы этой программы и, соответственно, экзамена: Exam Board (AQA, Edexcel, OCR). Эти программы имеют свои сильные и слабые стороны, но здесь речь пойдет о Edexcel, Math. Этот формат предлагается к рассмотрению по причине наличия у меня статистически подтвержденных данных по результатам подготовки соискателей к экзамену.

Несколько слов о данных, на основе которых и появилась идея создания этого текста. Так получилось, что автору этих строк посчастливилось на протяжении нескольких лет общаться (подробно отвечать на вопросы) с восемью учениками из трех разных школ различных годов обучения. Нужно отметить, что начальный уровень подготовки учеников по предмету (математика) был очень разный. Двое из восьми, один мальчик и одна девочка, были очень хорошо подготовлены. Для всех учеников родным был русский язык, но только четверо из них посещали общеобразовательные школы в России. Трое учились на территории EC, а один в США. Гендерный состав: три мальчика и пять девочек. Я не буду описывать два года общения с этими ребятами, скажу только, что все они продолжили обучение в школах на следующем уровне, A-level, IB, и почти все выбрали естественно-научные (science + math) предметы для дальнейшего освоения.

Самым интересным во всем этом опыте является тот факт, что абсолютно разные дети из разных школ, с разной начальной подготовкой, с разными усердием и успехами на дополнительных занятиях столкнулись примерно с одними и теми же проблемами на экзаменах. А именно: обучаясь в разных школах, у разных преподавателей, занимаясь дополнительно предметом, допустили ошибки и/или не смогли решить очень похожие задачи. Нельзя сказать, что материал подобных задач не обсуждался с ними. Мало того, подобные задачи рассматривались в рамках дополнительных занятий. Мною сделано предположение, выдвинута гипотеза, что существует почти два десятка задач в рамках экзамена GCSE/Math/Edexcel, которые требуют большего внимания со стороны учащихся и тех, кто им преподает, помогает осваивать предмет.

Как формировался список задач? После очередного экзамена ребята приходили и рассказывали о том, что получилось, а что не получилось. Некоторым даже удавалось сфотографировать текст задач, что запрещено правилами экзамена. Но давайте не будем выдавать хулиганов строгой администрации. Потом в августе появились результаты экзаменов. Кто-то из ребят подавал апелляции. Но меня интересовал набор задач, с которыми ребята не смогли справиться. В результате разговора со школьниками сформировался «длинноватый» список задач, которые вызвали затруднения хотя бы у одного ученика. Из этого «длинноватого» списка были отобраны в основную часть текста формулировки задач, которые соответствуют следующим критериям:

1. Задача (или вопрос) не решена четырьмя и более учениками. (Задача считается нерешенной, если не зачтена на экзамене и не была доказана в апелляции.)

2. Ученики, не справившиеся с задачей, учатся не в одной школе.

3. Задача, удовлетворяющая двум предыдущим пунктам, была в перечне задач, которые были обозначены студентами как сложные в предыдущем году.

Просматривая получившийся список, можно удивляться тому, что встречаются задачи очень разные по уровню сложности. В списке оказались даже простейшие задачи, причину затруднения в решении которых сложно объяснить. Но, как говорится, если мы не можем интерпретировать результат, это совсем не значит, что объяснения не существует. Не следует сбрасывать со счетов и тот факт, что причиной непонимания задачи может быть ошибка в переводе. Особенно часто это встречается, когда речь идет о размерности, разрядности и округлении. Удивительно, что в список не попали задачи по геометрии и стереометрии, которые считаются часто вызывающими трудности.

К каждой задаче приведены краткий комментарий об одном из возможных способов решения, а также перевод на русский язык. Данная работа ставит перед собой цель обратить внимание на возможные пробелы в подготовке к решению задач, которые вызвали трудности у почти репрезентативной выборки учащихся.

Нужно обязательно отметить, что все представленные задачи можно легко найти на многочисленных интернет-ресурсах, посвященных подготовке к экзаменам GCSE и A-levels. Ссылки на некоторые из них представлены в конце текста.

Формулировка задач, перевод и комментарии

№1

Elena spent 120 minutes at a sports centre. She played badminton for 50 minutes. She used the swimming pool for 1/6 of the 120 minutes. She used the gym for 20% of the 120 minutes. She then spent the rest of the 120 minutes in the cafe.

Work out the total time, in minutes, that Elena spent in the cafe.

Елена пробыла в спортивном центре 120 минут. Она играла в бадминтон 50 минут. Она плавала в бассейне 1/6 от 120 минут. Она была в спортзале 20% от 120 минут. Остаток времени она провела в кафе. Найдите общее время, проведенное Еленой в кафе.

Комментарий

Предлагается аккуратно посчитать время, проведенное Еленой в каждой активности, сложить данные, получив время, проведенное везде, кроме кафе. Потом полученный результат вычесть из общего времени, которое Елена провела в спортивном центре.

№2

Solve 1/x — 1/ (x +1) = 4

Give your answer in the form a ± b0,5 where a and b are fractions.

Решите 1/x — 1/ (x +1) = 4

Ответ представьте в виде a ± b0,5, где a, b — дроби.

Комментарий

Аккуратно привести к общему знаменателю и решить квадратное уравнение.

И в этой, и во всех других задачах, где в знаменателе присутствует аргумент, необходимо осуществлять проверку на деление на 0. Проверять, что знаменатель не должен равняться 0 ни при каких значениях аргумента, очень полезная практика, которая позволяет избежать обидных ошибок.

№3

Alfie has 11 cards. He has 3 blue cards, 7 green cards and 1 white card. Alfie takes at random 2 of these cards. Work out the probability that he takes cards of different colours.

У Альфи 11 карт. У него три синих, семь зеленых и одна белая карта. Альфи случайным образом берет две из этих карт. Найдите вероятность, что он взял карты разных цветов.

Комментарий

Хорошо бы помнить понятие полной вероятности. В нашем варианте, где событием является получение двух карт разных цветов, а дополнением — получение двух карт одного цвета, полная вероятность будет:

Р (получение двух карт одного цвета) + Р (получение двух карт разных цветов) = 1.

Обращаю внимание, что вычислить вероятность получения двух карт одного цвета получится быстрее, чем вычислить вероятность получения карт разных цветов. Учитывая тот факт, что карта белого цвета всего одна, выясним, что одинаковых пар всего две (синий, синий; зеленый, зеленый).

Одним из основоположников теории вероятности и автором одной из первых монографий на эту тему является Якоб Бернулли (1655–1705) — швейцарский математик.

№4

Festival A will be in a rectangular field with an area of 80000 m2. The greatest number of people allowed to attend Festival A is 425. Festival B will be in a rectangular field 700 m by 2000 m. The greatest number of people allowed to attend Festival B is 6750. The area per person allowed for Festival B is greater than the area per person allowed for Festival A. (a) How much greater? Give your answer correct to the nearest whole number.

Фестиваль А проходит на прямоугольном поле площадью 80000 м2. Максимальное число людей, которое может посетить фестиваль А, — 425 человек. Фестиваль B будет проходить на прямоугольном поле 700 м на 2000 м. Максимальное число людей, которое может посетить фестиваль B, составляет 6750 человек. Допустимая площадь на человека на фестивале B выше, чем на фестивале А. Насколько выше? Дайте ответ в виде ближайшего целого числа.

Комментарий

Удобно сравнивать величины одной (одинаковой) размерности. К примеру, можно сравнивать допустимое количество людей на единицу площади. Площадь поля для фестиваля А известна. Легко можем вычислить количество людей на 1 м2 для поля фестиваля А.

Для фестиваля В известна форма поля. Это прямоугольник. Стороны прямоугольника даны в условиях задачи. Посчитав площадь поля для фестиваля В, легко находим количество людей на 1 м2 для поля фестиваля В.

Теперь у нас есть две величины одной размерности, которые удобно сравнить (количество людей на 1 м2 для поля фестиваля, чел./м2).

---

№5

The ratio of Marta’s hourly pay to Khalid’s hourly pay is 6:5. Both Marta and Khalid get an increase of £1.50 in their hourly pay. The ratio of Marta’s hourly pay to Khalid’s hourly pay after this increase is 13:11. Work out the hourly pay before the increase for Marta and for Khalid.

Соотношение почасовой оплаты Марты и почасовой оплаты Халида — 6:5. Оба, Марта и Халид, получили прибавку в размере 1,5 фунта стерлингов в час. Соотношение почасовой оплаты Марты и почасовой оплаты Халида после прибавки стало 13:11. Найдите размер почасовой оплаты труда Марты и Халида до повышения.

Комментарий

Удобно использовать проверенный метод решения текстовых задач. Читаем текст задачи по простым предложениям, до запятой или точки. Записываем условия. Почасовая оплата Марты / почасовая оплата Халида = 6/5; (почасовая оплата Марты +1,5) / (почасовая оплата Халида +1,5) = 13/11. Полученные соотношения приводим к общему знаменателю. Приводим подобные. Вычисляем размер оплаты труда Марты и Халида.

№6

Find the set of possible values of x for which

4x2 — 25 <0 and 12 — 5x — 3x2> 0.

You must show all your working.

Найдите область допустимых значений х, для которых

4x2 — 25 <0 и 12 — 5x — 3x2> 0.

Продемонстрируйте весь ход решения.

Комментарий

Самый простой способ — разложить на множители, отметить соответствующие интервалы для обоих неравенств на одной числовой прямой, потом взять их пересечение. Не следует упускать из вида, что неравенства являются строгими, поэтому крайние значения интервалов не включаются в решение.

№7

Prove algebraically that 0.1 (23) can be written as 61/495.

Докажите алгебраически, что 0,1 (23) может быть представлено в виде 61/495.

Комментарий

Важным моментом в таких задачах являются обозначения. Дело в том, что иногда периодическая часть дроби обозначается точками (.) над периодической частью вместо скобок. Существует несколько способов решения этой задачи, но наиболее понятным, на мой взгляд, является следующий:

пусть Х = 0,1 (23),

тогда 10X = 1, (23), а 1000Х = 123, (23).

Вычитаем одно уравнение из другого и выражаем Х в виде обыкновенной дроби.

№8

There is a total of y counters in a box. There are x pink counters and 5 blue counters in the box. The rest of the counters are green. x / y = 1 / 3. Freda takes at random two counters from the box. Find, in terms of x, an expression for the probability that Freda takes two counters of the same colour. Give your answer as a fraction in the form (ax2 + bx + c) / (dx2 + ex) where a, b, c, d and e are integers.

В коробке всего y фишек. В коробке х розовых фишек и пять голубых фишек. Остальные фишки зеленые.

x / y = 1 / 3.

---